发现几个非常实用的单位球面变换公式

lihpb00 · 发表于 2023-8-2 22:11:46

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本帖最后由 lihpb00 于 2023-8-2 22:24 编辑

(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)均在单位球面上，则：

(x₁-x₂)²(x₁²+z₁²)+(y₁-y₂)²(y₁²+z₁²)+2(x₁-x₂)(y₁-y₂)x₁y₁
=(x₁-x₂)²(x₂²+z₂²)+(y₁-y₂)²(y₂²+z₂²)+2(x₁-x₂)(y₁-y₂)x₂y₂
=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²-(x₁y₂-x₂y₁)²

(y₂z₁-y₁z₂)²+(x₁z₂-x₂z₁)²+(x₂y₁-x₁y₂)²
=1-(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)²

(x₁-x₂)(x₂z₁-x₁z₂)+(y₁-y₂)(y₂z₁-y₁z₂)
=(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-1)(z₁+z₂)

lihpb00 · 发表于 2023-8-2 22:30:27

上述公式作进一步变形甚至可以推广至n维球面甚至n维二次曲面，对x、y、z作线性变换可以变成椭球或双曲的二次曲面，可以消元降次非常实用。

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