这样的△ABC有几个？

王守恩

△ABC, AD是高, BE(E属于AD)是∠B的平分线, A,B是整数(角度), ∠CED是整数(角度), 这样的△ABC有几个？

northwolves

显然有0个或无穷多个。△ABC可以任意放大缩小。

nyy

只有穷举呀，AB是整数，所以能穷举的。
你最好配一张图！

northwolves

{30, 30, 120}, {15, 45, 120}, {60, 60, 60}

王守恩

出题是门艺术，我是学不好了。
△ABC, AD是高, BE(E属于AD)是∠B的平分线,E分△ABC为4个, △EAB△EBD△EDC△ECA的角度都是整数(角度), 这样的△ABC有几个？

northwolves

设$AD=1,\angle EDC=x$
$DE=\frac{tan\frac{B}{2}}{tanB}=\frac{tanx}{tanC}$
$tanx=\frac{tanCtan\frac{B}{2}}{tanB}=\frac{tanC}{1+secB}$
$x=arctan\frac{tanC}{1+secB}$
若$B=C,x=\frac{B}{2}$

{{176,2,2},{172,4,4},{168,6,6},{164,8,8},{160,10,10},{156,12,12},{152,14,14},{148,16,16},{144,18,18},{140,20,20},{136,22,22},{132,24,24},{128,26,26},{124,28,28},{120,30,30},{116,32,32},{112,34,34},{108,36,36},{104,38,38},{100,40,40},{96,42,42},{92,44,44},{88,46,46},{84,48,48},{80,50,50},{76,52,52},{72,54,54},{68,56,56},{64,58,58},{60,60,60},{56,62,62},{52,64,64},{48,66,66},{44,68,68},{40,70,70},{36,72,72},{32,74,74},{28,76,76},{24,78,78},{20,80,80},{16,82,82},{12,84,84},{8,86,86},{4,88,88}}

王守恩

1. Solve[{(Sin[b Degree] Sin[2 Degree])/(Cos[(a + b) Degree] Sin[a Degree]) == 1, 90 > a > 0, 90 > b > 0}, {a, b}, Integers]

复制代码

出题是门艺术，我是学不好的。凑合着寻。合计97个。
1,{∠EBD,∠EBA,∠EAB,∠EAC,∠ECA,∠ECD}=44个:{1,1,88,01,1,88},{2,2,86,02,2,86},{3,3,84,03,3,84},...{43,43,4,04,43,43},{44,44,2,02,44,44}。
2,{∠EBD,∠EBA,∠EAB,∠EAC,∠ECA,∠ECD}=43个:{1,1,88,88,1,01},{2,2,86,86,2,02},{3,3,84,84,3,03},...{43,43,4,43,43,04},{44,44,2,44,44,02}。
3,{∠EBD,∠EBA,∠EAB,∠EAC,∠ECA,∠ECD}=05个:{6,6,78,24,18,48},{10,10,70,30,20,40},{36,36,18,06,18,66},{36,36,18,12,30,48},{42,42,6,12,54,24}。
4,{∠EBD,∠EBA,∠EAB,∠EAC,∠ECA,∠ECD}=05个:{6,6,78,48,18,24},{10,10,70,40,20,30},{36,36,18,66,18,06},{36,36,18,48,30,12},{42,42,6,24,54,12}。

王守恩

northwolves 发表于 2023-8-5 11:29
设$AD=1,\angle EDC=x$
$DE=\frac{tan\frac{B}{2}}{tanB}=\frac{tanx}{tanC}$
$tanx=\frac{tanCtan\frac{ ...

看看7楼有没有问题？因为计算机出来的答案，显示这么一些东西。
NSolve::ztest1: Unable to decide whether numeric quantity 90 (\[Pi]+8 ArcTan[1-Sqrt[2]]) is equal to zero. Assuming it is.
NSolve::ztest1: Unable to decide whether numeric quantity 90 (\[Pi]+8 ArcTan[1-Sqrt[2]]) is equal to zero. Assuming it is.
NSolve::ztest1: Unable to decide whether numeric quantity 90 (\[Pi]+8 ArcTan[1-Sqrt[2]]) is equal to zero. Assuming it is.
General::stop: Further output of NSolve::ztest1 will be suppressed during this calculation.
心里没底，谢谢！

nyy

∠A有179种可能，∠B不超过179种可能，
因此组合数=32041
剩下的就是把符合条件的全部过滤出来！
完全可以用软件进行过滤！

nyy

王守恩 发表于 2023-8-5 16:08
出题是门艺术，我是学不好的。凑合着寻。合计97个。
1,{∠EBD,∠EBA,∠EAB,∠EAC,∠ECA,∠ECD}=44个:{1, ...

你不怕麻烦，完全可以用CAD画图