一个初中平面几何题，请给出完整答案

EulerKepler

如图，ABCD是圆O上的四个点，且有AC=BC=BD，连接CD,过A作CD的垂线交CD于E,交圆O于P。  
F在AP的延长线上且有PF=PB。求证:
1. D,B,F共线
2. AE=EF

hujunhua

1、显然，半径OB垂直平分弦BC，所以OB∥AF。
∠F=∠PBF=∠APB/2=∠ACB/2=∠DBC/2=∠OBD
截平行线同位角相等，所以D, B, F 共线。
2、由等弦对等角知 ∠BDC=∠ADC，∴ RTΔAED≌RTΔFED，∴ AE=EF.

EulerKepler

hujunhua 发表于 2023-8-8 08:55
1、显然，半径OB垂直平分弦BC，所以OB∥AF。
∠F=∠PBF=∠APB/2=∠ACB/2=∠DBC/2=∠OBD
截平行线同位角相 ...

谢谢，解答正确。

EulerKepler

关于第1问的另外一种证明方法，请帮忙看看有没有漏洞。

延长DB，交AP的延长线于点G。
在Rt△DEG和Rt△DEA中，∠ADC=∠BDC(等弧对等角)，根据等角的余角相等，
可得，∠DAE=∠DGE (1)
在圆的内接四边形APBD中，∠PAD+∠PBD=180°
又∠PBG+∠PBD=180°，
所以, ∠PAD=∠PBG (2)
∠PAD即∠EAD，根据(1), (2), 可知，∠DGE=∠PBG
所以PB=PG。
又G在AP的延长线上，PG=PB，与题设中F在AP的延长线上，PF=PB的描述一致，所以点G与点F重合，所以，D，B，F共线

hujunhua

EulerKepler 发表于 2023-8-8 14:39
关于第1问的另外一种证明方法，请帮忙看看有没有漏洞。

延长DB，交AP的延长线于点G。

这种方法叫做同一法，是一种间接证法。
一般直接证法很困难才会考虑同一法，因为运用同一法，最后需要以唯一性为基础。
就是：F与G描述一致，只有这种描述具有唯一结果，才能说G与F是同一的。