sin∠PAB+sin∠PBC+sin∠PCA=sin∠PAC+sin∠PBA+sin∠PCB

王守恩

在边长a,b,c(不同的3个数)的三角形ABC内部找点P,满足\(\sin∠PAB+\sin∠PBC+\sin∠PCA=\sin∠PAC+\sin∠PBA+\sin∠PCB\)。

试证, 当p在某条角平分线上时, \(\sin∠PAB+\sin∠PBC+\sin∠PCA=\sin∠PAC+\sin∠PBA+\sin∠PCB\)无解。

对具体{a,b,c},电脑要如何编排会出来答案(一组就行),譬如:{a,b,c}={3,4,5}{2,6,7,}{8,9,10}。谢谢！

gxqcn

若 P 为正三角形 ABC 的中心呢？

lihpb00

gxqcn 发表于 2023-8-21 18:24
若 P 为正三角形 ABC 的中心呢？

题目已经说了三角形三边长均不等

hujunhua

满足要求的点P形成了三角形所在平面上的一条轨迹曲线Ω。
三角形的内心显然在Ω上，题主却说“P在某个角平分线上无解”，我理解其实是说Ω与3条角平分线除了内心没有其它交点。

假定P在∠C的平分线上，则∠PCA=∠PCB，问题就是当P不是内心时，求证
$sin∠PAB+sin∠PBC≠sin∠PAC+sin∠PBA$

是这个意思吗？

如果是的，证明就简单了。

已有恒等式 $sin∠PAB·sin∠PBC=sin∠PAC·sin∠PBA$
若再假设 $sin∠PAB+sin∠PBC≠sin∠PAC+sin∠PBA$
则两边的正弦值满足同一个二元一次方程，故必有
        $sin∠PAB=sin∠PAC，sin∠PBC=sin∠PBA$
或者  $sin∠PAB=sin∠PBA，sin∠PBC=sin∠PAC$
前者即P为内心，与假设相矛盾；后者即得∠ABC=∠BAC，与题设相矛盾。

另：
记P至ΔABC的三边的距离分别为$h_a=h_b≠h_c$，则
$sin∠PAB=h_c/(PA),sin∠PBC=h_a/(PB),sin∠PAC=h_b/(PA),sin∠PBA=h_c/(PB)$
假定$sin∠PAB+sin∠PBC=sin∠PAC+sin∠PBA$，将上行的公式代入后可化得
$(h_a-h_c)(PA-PB)=0→PA=PB$
那么P又在边AB的垂直平分线上，当AC≠BC时，P就在ΔABC之外了。
三角形一条角平分线与对边垂直平分线的交点在外接圆上。

王守恩

对具体3条边,电脑要如何编排会出来答案,譬如:3,4,5。先说说我的笨方法。

1. NSolve[{3/Sin[A] == 4/Sin[B] == 5/Sin[A + B], \[Pi]/2 > A > 0, \[Pi]/2 > B > 0}, {A, B}]
   
2. Table[NSolve[{(Sin[A/n] Sin[b] Sin[c])/(Sin[A - A/n] Sin[B - b] Sin[A + B + c]) == (Sin[A/n] + Sin[b] + Sin[c])/(Sin[A - A/n] + Sin[B - b] + Sin[A + B + c]) == 1,
   
3. B > b > 0, \[Pi] > A + B + c > 0}, {b, c}], {A, 0.643501, 0.643501}, {B, 0.927295, 0.927295}, {n, 2, 6}] // FullSimplify

复制代码

由(01)解得A,B,{{A -> 0.643501, B -> 0.927295}},  再复制,黏贴,代入(02),
A/2: {{}, 当p在某条角平分线上时, 无解。 谢谢  hujunhua ！
A/3: {{b -> 0.00323414, c -> 1.56872}, {b -> 0.674566, c -> 0.663895}},
A/4: {{b -> 0.0895419, c -> 1.52929}, {b -> 0.75038,   c -> 0.642073}},
A/5: {{b -> 0.128532,  c -> 1.5242},  {b -> 0.789917, c -> 0.636832}},
A/6: {{b -> 0.151025, c -> 1.52584}, {b -> 0.814636, c -> 0.635508}},
各位网友！可有好一点 (合并(01),(02)) 的方法？谢谢！