三角棋的必胜策略

lihpb00

两人在如图所示的一个每边有5个交叉点、共计15个交叉点的三角形棋盘上下棋，规则如下：

三角棋

1、空盘开局，轮流落子于空白交叉点上，直至填满棋盘。
2、每次轮走可下 1 至数子, 并且数子必须沿一条直线相连成串。
3、最后落子者为输家。

求证：后手方有必胜策略。

lihpb00

当三角形棋盘的边长为 n（格点数）时，求证：n为奇数时后手有必胜策略，n为偶数时先手有必胜策略。

hujunhua

OOOOO
OOOO
OOO
OO
O

对于上图的15个圈，先后手轮流用笔可以划掉一个或多个圈。
每人每次只能划一笔，只可横着、竖着或者斜45度划，只可划直线不能拐弯，划过的地方不能重复划。
划到最后一笔的人算输。

求证无论先手如何划，后手总有必胜策略让先手划最后一笔。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2023-8-23 08:58
两人在如图所示的一个每边有5个交叉点、共计15个交叉点的三角形棋盘上 ...

跟尼姆游戏有关联么？

hujunhua

aimisiyou 发表于 2023-8-23 14:58
跟尼姆游戏有关联么？

有所关联。
斯普莱格–格隆第定理说"任意无偏搏弈都等价于一个特定大小的尼姆堆"
这显然是一个无偏博弈。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2023-8-23 15:37
有所关联。
斯普莱格–格隆第定理说"任意无偏博弈都等价于一个特定大小的尼姆堆"
这显然是一个无偏博弈 ...

怎样转化为一个nim堆？

mathe

取最后一个棋子赢才是nim

hujunhua

mathe 发表于 2023-8-23 22:12
取最后一个棋子赢才是nim

取最后一个输也是一个无偏搏弈，所以必然等价于取最后一个赢的某个nim堆。

mathe

参考一下
https://bbs.emath.ac.cn/thread-763-1-1.html

hujunhua

mathe 发表于 2023-8-24 16:49
参考一下
https://bbs.emath.ac.cn/thread-763-1-1.html

那个 一维反Nim游戏 就已经很复杂了，
这种二维等距网格有三个方向的直线，岂不是更加难解。
正方形网格只有两管两个方向的直线，应该简单一些吧。
好像不一定，正交网格虽然少一个方向的直线，但同阶棋盘，交叉点数差不多比三角棋盘多一半。
交叉点数相当的两种棋盘，应该是正方形棋盘更简单一些。