求数列通项公式

倪举鹏

设 \(a_0=1\)，当 \(n\geq0\) 时，\(a_{n+1}=4a_n+\left\lfloor\sqrt{11}a_n\right\rfloor\)，其中 \(\lfloor a\rfloor\) 表示不大于 \(a\) 的最大整数，
求 \(a_n\) 的通项表达式。

nyy

题目太弱智，答案是
\[\frac{\left(7 \sqrt{11}+33\right) \left(4-\sqrt{11}\right)^n+5 \left(3 \sqrt{11}+11\right) \left(\sqrt{11}+4\right)^n}{110 \left(\sqrt{11}+4\right)}\]

1. (5 (4 + Sqrt[11])^n (11 + 3 Sqrt[11]) + (4 - Sqrt[11])^
   
2.     n (33 + 7 Sqrt[11]))/(110 (4 + Sqrt[11])) /.
   
3.   n -> Range[10] // Simplify

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以上代码供你检验，代码丑

mathematica中显示的公式是这样，
\[\frac{5 \left(4+\sqrt{11}\right)^n \left(11+3 \sqrt{11}\right)+\left(4-\sqrt{11}\right)^n \left(33+7 \sqrt{11}\right)}{110 \left(4+\sqrt{11}\right)}\]

第一个公式是转LaTeX导致的

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. a=1
   
3. xxx={1}(*用来保存数列的前几项*)
   
4. Do[a=4*a+Floor[Sqrt[11]*a];
   
5.     xxx=Append[xxx,a],
   
6. {k,1,12}]
   
7. (*通过数列的前十几项,找到数列的通项公式*)
   
8. xx=FindSequenceFunction[xxx,n]//FullSimplify
   

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把我的思想与方法都告诉你吧，放在我手里也没啥用。

gxqcn

请证明：
\[a_0=1,\;a_1=7, \;a_n=8a_{n-1}-5a_{n-2} \ (n\ge2)\]
上述递推公式与原递推公式等价。

282842712474

东施效颦@kastin大神，硬分析一波。

记$\beta=4+\sqrt{11}, \{\sqrt{11}a\} = \sqrt{11}a - \lfloor \sqrt{11}a\rfloor$，那么
$$a_{n+1} = \beta a_n \left(1 - \frac{\{\sqrt{11}a_n\}}{\beta a_n}\right)$$
迭代并结合$a_0=1$得
$$a_n = \beta^n \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 - \frac{\{\sqrt{11}a_i\}}{\beta a_i}\right) = \beta^n \frac{\prod_{i=0}^{\infty} \left(1 - \frac{\{\sqrt{11}a_i\}}{\beta a_i}\right)}{\prod_{i=n}^{\infty} \left(1 - \frac{\{\sqrt{11}a_i\}}{\beta a_i}\right)} $$
不难发现分子是收敛的，记为$k$，显然$a_n > k\beta^n$，并且
$$\begin{aligned}
a_n - k \beta^n=&\, k \beta^n \left(\frac{1}{\prod_{i=n}^{\infty} \left(1 - \frac{\{\sqrt{11}a_i\}}{\beta a_i}\right)} - 1 \right) \\
< &\, k \beta^n \left(\frac{1}{\prod_{i=n}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{k\beta^{i+1}}\right)} - 1 \right)
\end{aligned}$$
接下来的放缩空间就比较大了，因为我们只需要证明$a_n - k\beta^n < 1$，这个界还是很松的，大家可以自行补充，这里不展开，因为展开细节又很多了。

现在我们知道：1、$a_n$是一个整数；2、$a_n > k\beta^n$；3、$a_n - k\beta^n < 1$，那么就是说
$$a_n = \lceil k\beta^n\rceil$$
至于$k$，可以递归计算前面若干项$a_n$来估计，这个收敛还是相当快的：
$$k = 0.9522670\cdots$$
事实上还有
$$k = \frac{3\sqrt{11}+11}{22}$$
这个解析式是根据前面几楼的二次递推解得出的。我比较想知道的是，能否不借助构造等价的二次递推来得出这个解析解？

无心人

1. using Hecke
   
2. 
   
3. setprecision(10000)
   
4. 
   
5. function seq_a(n)
   
6.     global a = big(1)
   
7.     global b = big(11.0)
   
8.     for i in range(1, n)
   
9.         tmp = 4 * a + BigInt(floor(a *  sqrt(b)))
   
10.         global a = tmp
    
11.     end
    
12.     a
    
13. end
    
14. 
    
15. function seq_b(n)
    
16.     d = 11
    
17.     F, t = quadratic_field(d)
    
18.     b_1 = 4 - t
    
19.     b_2 = 4 + t
    
20.     t_1 = 33 + 7t
    
21.     t_2 = 5(11 + 3t)
    
22.     t_3 = 110b_2
    
23.     b = (t_1 * b_1^n + t_2 * b_2^n) / t_3
    
24.     b
    
25. end
    
26. 
    
27. for n in range(1,1000)
    
28.     if seq_a(n) != seq_b(n+1)
    
29.         println(n)
    
30.         println(seq_a(n))
    
31.         println(seq_b(n+1))
    
32.     end
    
33. end

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结果是一致的，但是通项公式的n应该是n+1

nyy

无心人 发表于 2023-8-29 16:47
结果是一致的，但是通项公式的n应该是n+1

我又重新整了一下，通项公式的表达式为
\[\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2 \sqrt{11}}\right) \left(4-\sqrt{11}\right)^n+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \sqrt{11}}\right) \left(4+\sqrt{11}\right)^n\]

第一项当n充分大的时候，趋于零。第一项是个大于零的数，主要看第二项
\[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \sqrt{11}}\right) \left(4+\sqrt{11}\right)^n\]
当n充分大后，通项公式就是
\[\left\lceil\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \sqrt{11}}\right) \left(4+\sqrt{11}\right)^n\right\rceil\]
然后用数学归纳法证明，应该容易些，但是我懒得证明，因为我验证过上百项就可以了，不想浪费时间去证明。
我觉得思路通了，就可以了。先用数值计算证明前1000一样的，然后再用数学归纳法证明。

mathematica的代码为

1. (1/2 - 3/(2 Sqrt[11])) (4 - Sqrt[11])^
   
2.   n + (1/2 + 3/(2 Sqrt[11])) (4 + Sqrt[11])^n

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倪举鹏

记      `α=4+\sqrt{11},β=4-\sqrt{11}`，
易知  `αβ=5,α+β=8,0<β<1`
由定义知       `α a_n-1<a_{n+1}<α a_n`
两边乘以`β`得 `5a_n-β<β a_{n+1}=(4-\sqrt{11})a_{n+1}<5a_n`
移项可得      `4a_{n+1}-5a_n<\sqrt{11}a_{n+1}<4a_{n+1}-5a_n+β`
可见            `\lfloor\sqrt{11}a_{n+1}\rfloor=4a_{n+1}-5a_n`
代入原定义式得  `a_{n+2}=8a_{n+1}-5a_n`

4#的等价关系得证。   

282842712474

将$\sqrt{11}$改$\sqrt{8}$试试？能否找到类似的二次递推公式？

5#的结果倒还适用：
$$a_n = \lceil k\beta^n\rceil,\quad \beta=4+\sqrt{8}, \,\,k = 0.85734465\cdots$$

但是构造二次递推的思路，似乎因为$4-\sqrt{8} > 1$而失效了？

gxqcn

282842712474 发表于 2023-8-30 10:53
将$\sqrt{11}$改$\sqrt{8}$试试？能否找到类似的二次递推公式？

5#的结果倒还适用：

@nyy 试试你的 MMA 大法可还凑效？