求证四面体二面角的余弦公式

lihpb00

四面体`A_1A_2A_3A_4`的各棱长分别为`A_iA_j=a_{ij}=a_{ji}`，
所在二面角为`θ_{ij}=θ_{ji}`，并定义`θ_{ii}=π`。
`B_{ij}`为下述矩阵B中的各元素`b_{ij}`的代数余子式，
则\[
\cos θ_{ij}=-\frac{B_{ij}}{\sqrt{B_{ii}·B_{jj}}}，(i,j∈\{1,2,3,4\})\\
B=\begin{bmatrix}0&1&1&1&1\\
1&0&a^2_{12}&a^2_{13}&a^2_{14}\\
1&a^2_{21}&0&a^2_{23}&a^2_{24}\\
1&a^2_{31}&a^2_{32}&0&a^2_{34}\\
1&a^2_{41}&a^2_{42}&a^2_{43}&0
\end{bmatrix}\]

lihpb00

求证行列式`|\cosθ_{ij}|`半正定，且任意非对角线元素的代数余子式大于0.
\[|\cosθ_{ij}|=\begin{vmatrix}
-1&\cosθ_{12}&\cosθ_{13}&\cosθ_{14}\\
\cosθ_{21}&-1&\cosθ_{23}&\cosθ_{24}\\
\cosθ_{31}&\cosθ_{32}&-1&\cosθ_{34}\\
\cosθ_{41}&\cosθ_{42}&\cosθ_{43}&-1
\end{vmatrix}\]

nyy

你这个B，像是求四面体体积的！

nyy

上面的$B_{ij}$有歧义。
在 $cosθ_{ij}=-B_{ij}/sqrt{B_{ii}·B_{jj}$ 中，下标为1~4，但`B`是5×5的，`b_{ij}`的下标是0~4吗？。

lihpb00

nyy 发表于 2023-9-4 08:36
上面的$B_{ij}$有歧义。
在 $cosθ_{ij}=-B_{ij}/sqrt{B_{ii}·B_{jj}$ 中，下标为1~4，但`B`是5×5的，`b_{ ...

下标改为1-4