一道诡异的不等式

gxqcn

已知：$x,y,z$ 是正数，且
　　$x+y+z>=(xy)/z$
　　$x+y+z>=(yz)/x$
　　$x+y+z>=(zx)/y$
求证：$(x+y+z)(1/(x+y)^4+1/(y+z)^4+1/(z+x)^4)>=9/(16xyz)$

转自：http://www.aoshoo.com/bbs1/dispb ... ID=11450&page=1

zed

这个不是几何不等式转化过来的吗？
假设锐角$\Delta$ABC三边长度为a,b,c,面积为$\Delta$,
这个不等式就是说
$1/a^4+1/b^4+1/c^4>=9/(16\Delta^2)$

gxqcn

我感觉这个不等式比较“诡异”之处在于：其条件比较宽松（当 $x=y=z$ 时，形成 $3x>=x$ 之式）

联想到几何不等式需要些功底（说实话，俺还不知怎么转化），可否有一般代数形式的证明？

zed

$\Delta$ABC中，设三条边长度为a,b,c,那么必然存在正数x,y,z使得
a=y+z,b=z+x,c=x+y,s=x+y+z
(其几何意义就是内切圆将每条边分割成两个部分),其中s为半周长
然后根据海伦公式
$\Delta=sqrt(sxyz)$
代入就转化为此不等式了。
现在我们来看边界条件$zs>=xy$代表什么意思
我们看看什么情况下$zs=xy$,
根据海伦公式,在$zs=xy$时
$\Delta=sqrt(sxyz)=sqrt(sz*sz)=sz=xy$
我们知道三角形面积为$sr$其中r为内接圆半径，所以上面等式表示$r=z$.
我们知道，在$/_C=pi/2$时$r=z$,所以上面三个边界条件分明就是$\Delta$ABC是锐角三角形的边界条件。

mathabc

zed 功底太强大了，佩服佩服！

数学星空

呵呵,对于比较对称的三个未知数的不等式,一般情况下都能找到对应的几何解释