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[讨论] 三角形中的两个不等式

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发表于 2023-9-13 15:56:24 | 显示全部楼层 |阅读模式

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之前一个问题,里面得出了三角形中的两个不等式:

\(\D a \geq 2\sqrt{bc}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(\D 2\sqrt{bc}\left(1+\sin\frac{A}{2}\right)\leq l\),\(l\)为三角形周长

虽然可以通过代数变换直接证明,但让我好奇的是,有没有几何证法之类的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-9-18 09:36:12 | 显示全部楼层
带有三角函数却要求几何解法,有点不搭。
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发表于 2023-10-29 22:59:44 | 显示全部楼层
应该先作角平分线
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发表于 2023-10-30 21:51:46 | 显示全部楼层
只要证明出来就行了,何苦非要用几何的办法?
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发表于 2023-11-1 12:52:48 | 显示全部楼层
1.png
如图可以得到
\(h\le h_{max}=\frac a{2\tan(\frac A2)}\)
于是得到
\(\frac{bc\sin(A)}2 = S=\frac{ah}2 \le \frac {a^2}{4\tan(\frac A2)}\)
即\(a\ge 2\sqrt{bc}\sin(\frac A2)\)
然后再根据\(2\sqrt{bc}\le b+c\)可以得到第二个不等式
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