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[原创] 抓住问题本质,巧解鸭子问题

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发表于 2023-9-17 12:52:09 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这么巧妙的解法,竟然没几个人理解这里面的美妙。
很久前就写过,但是没有怎么配图和结合图解释,可能有点太抽象。其实我个人更喜欢抽象的,反而觉得很直接很体现本质。

这里图片限制太多,图片去看微博。
https://weibo.com/6236276241/4946938983088401


#数学 #概率 #鸭子

抓住问题本质,巧解鸭子问题。

前段时间出来一个圆池鸭子共半圆问题,做了n维球体的推广,映射到球体表面积后降维,定原点后去掉了圆周的环绕问题,很容易的通解解决了问题。

再推广到任意纬度。圆内面积均匀分布的随机n个点,处于不定的某个x*2π(0<=x<=1,常见的归一化,形式好更漂亮)扇形内概率p(n,x)=?

发现定原点,因为环绕问题,解决这个问题非常困难,多重积分积分上下限也很容易出错。其实对于任意幅度圆弧,我们定原点是非常错误的根本没有抓住问题本质,这个办法只对于半圆弧以内幅度有效。

圆周里n个点问题本质是什么?怎么去掉圆的环绕问题?
思考这个问题,发现其实这个问题转成代数非常简单,用n个点的相邻距离来描述这n个点就行就是圆心角,这个就是均匀分布的。这才是其代数本质,没有了几何的圆周了。

直接用概率单位计量,就是:
∑ ai=1,0<=ai<=1。


现在看这ai,把每个ai看成一个维度,我们再升级维度,这就是一个n维单位正方体的对角切面,因为后面还要切这个面,所以这个面后面统一叫对角面,和别的切面区分开。对角面就是边长2^0.5的n个顶点的n-1维图形。

再看处于x*2π圆弧内的条件是怎么?在圆弧内就是除了所有ai<1-x的,都满足。现在问题变得非常简单,就是n维的单位正方体的每条边垂直面从1-x那里切下来,切掉的每维度上面边的边长为x。或者简单的把每维度反过来计量,原点标记1,顶点标记0,这么切的时候就是丛x处长度切下来。





我们看三个点就是三维情形,总空间就是一个立方体。概率空间x+y+z=1就是如下图2的红色ABD。





最后就是如下图3的3个顶点的二维图。



2点2纬的就是上面的1AB,概率空间就是线段AB,1点总空间就是线段概率空间就是0维度的点。


4个顶点的总共4纬空间画不出来了,但是概率空间就是3纬的正4面体。如下图4的魔方:



再高纬度我也画不出来了,但是有了这些1234纬度的空间已经足够了,再高纬度可以想象。

这样我们可以脱离总空间,只看概率空间的几何图行了。把每边单位化长度都是1,“体积”也都是每个边在这空间里算正交,所以体积也都单位化成1。

每个顶点,切掉平行于底面,边长为x(0<=x<=1),切下来的“体积”就是我们所求的概率p(n,x)。

对于半圆,3点就是图2的情况,切掉三个角的,3/4非常明显。对于4点就是4/8=1/2。魔方是3*3*3的,我们只看如图5顶上2*2*2的,切掉的如图6,4个角每个角都切掉1块,所以就是4/8=1/2。









我们看这些概率几何图行,每条边的1/2、1/3、1/4…1/n都是一个几何中心点。

对于0<=x<=1/2,因为每个顶点切的没有交叉,直接简单的就得到切下来的体积n*x^(n-1),这就是最显然最直接的结果。


其实切到1/2再切下去,一直到1-1/3的时候重复了一块,把这块补上就行,这块边长就是2*(x-1/2),有c(n,1)块。到1-1/3的时候到了一个面的中心,再下去又补偿得多了,这时候边长3*(x-2/3),有c(n,3)块,…。


如果x过了1/2,那也很简单呀,有广义的容斥原理,交叉处多算的补偿出来就是了。

由广义容斥原理,也直接有:

p(n,x)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*(x-(k-1)/k))^(n-1)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*x-(k-1))^(n-1)

k从1到n,x-(k-1)/k大于0。

这个等式还可以推出很多有意思的结果。


需要用复杂的多重积分还很容易出错的题,抓住本质,就是这么简单,直接得住答案。

其实是把几何问题用本质的代数表示出来,变成代数问题,然后再把代数表示转成了别的高纬度空间。用这本质的代数表示做桥梁,相当于拓扑变换了,严格说来还得有点这拓扑变换密度分布没变化的证明。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-9-19 11:11:25 来自手机 | 显示全部楼层


原题圆形水池里4只鸭子随机游走,问共半圆的概率?

这原题太简单,现推广成更一般性的问题。

n维度球体表面面积均匀分布的m个点,球体表面积S,问都处于任意一个球表面面积为x*S(0<=x<=1)的“球拱”内的概率p(n,m,x)=?
这个概率和这个面积的形状是有关的,现在是求最简单的对称的球拱情形,还可以更复杂的几何图形。

球拱就是球体用一个平面切下来的几何体,其表面积只算球体表面积不算切面面积。


这个问题,流行这个鸭子共半圆的概率题的时候,做了更一般性推广,解出来了二维的全部和n维的0<=x<=1/2的情形。

二维n=2,我已经非常巧妙的解决得到通项公式,参见 https://weibo.com/6236276241/4946938983088401 。

当时任意n维球体的半球或者以下的球拱也已经得到通项公式。

现在问题是求通用的p(n,m,x)=?



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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