抓住问题本质，巧解鸭子问题

yuange1975

这么巧妙的解法，竟然没几个人理解这里面的美妙。
很久前就写过，但是没有怎么配图和结合图解释，可能有点太抽象。其实我个人更喜欢抽象的，反而觉得很直接很体现本质。

这里图片限制太多，图片去看微博。
https://weibo.com/6236276241/4946938983088401


#数学 #概率 #鸭子

抓住问题本质，巧解鸭子问题。

前段时间出来一个圆池鸭子共半圆问题，做了n维球体的推广，映射到球体表面积后降维，定原点后去掉了圆周的环绕问题，很容易的通解解决了问题。

再推广到任意纬度。圆内面积均匀分布的随机n个点，处于不定的某个x*2π(0<=x<=1，常见的归一化，形式好更漂亮）扇形内概率p(n,x)=?

发现定原点，因为环绕问题，解决这个问题非常困难，多重积分积分上下限也很容易出错。其实对于任意幅度圆弧，我们定原点是非常错误的根本没有抓住问题本质，这个办法只对于半圆弧以内幅度有效。

圆周里n个点问题本质是什么？怎么去掉圆的环绕问题？
思考这个问题，发现其实这个问题转成代数非常简单，用n个点的相邻距离来描述这n个点就行就是圆心角，这个就是均匀分布的。这才是其代数本质，没有了几何的圆周了。

直接用概率单位计量，就是：
∑ ai=1,0<=ai<=1。


现在看这ai，把每个ai看成一个维度，我们再升级维度，这就是一个n维单位正方体的对角切面，因为后面还要切这个面，所以这个面后面统一叫对角面，和别的切面区分开。对角面就是边长2^0.5的n个顶点的n-1维图形。

再看处于x*2π圆弧内的条件是怎么？在圆弧内就是除了所有ai<1-x的，都满足。现在问题变得非常简单，就是n维的单位正方体的每条边垂直面从1-x那里切下来，切掉的每维度上面边的边长为x。或者简单的把每维度反过来计量，原点标记1，顶点标记0，这么切的时候就是丛x处长度切下来。





我们看三个点就是三维情形，总空间就是一个立方体。概率空间x+y+z=1就是如下图2的红色ABD。





最后就是如下图3的3个顶点的二维图。



2点2纬的就是上面的1AB，概率空间就是线段AB，1点总空间就是线段概率空间就是0维度的点。


4个顶点的总共4纬空间画不出来了，但是概率空间就是3纬的正4面体。如下图4的魔方：



再高纬度我也画不出来了，但是有了这些1234纬度的空间已经足够了，再高纬度可以想象。

这样我们可以脱离总空间，只看概率空间的几何图行了。把每边单位化长度都是1，“体积”也都是每个边在这空间里算正交，所以体积也都单位化成1。

每个顶点，切掉平行于底面，边长为x(0<=x<=1)，切下来的“体积”就是我们所求的概率p(n,x)。

对于半圆，3点就是图2的情况，切掉三个角的，3/4非常明显。对于4点就是4/8=1/2。魔方是3*3*3的，我们只看如图5顶上2*2*2的，切掉的如图6，4个角每个角都切掉1块，所以就是4/8=1/2。









我们看这些概率几何图行，每条边的1/2、1/3、1/4…1/n都是一个几何中心点。

对于0<=x<=1/2，因为每个顶点切的没有交叉，直接简单的就得到切下来的体积n*x^(n-1)，这就是最显然最直接的结果。


其实切到1/2再切下去，一直到1-1/3的时候重复了一块，把这块补上就行，这块边长就是2*(x-1/2)，有c(n,1)块。到1-1/3的时候到了一个面的中心，再下去又补偿得多了，这时候边长3*(x-2/3)，有c(n,3)块，…。


如果x过了1/2，那也很简单呀，有广义的容斥原理，交叉处多算的补偿出来就是了。

由广义容斥原理，也直接有：

p(n,x)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*(x-(k-1)/k))^(n-1)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*x-(k-1))^(n-1)

k从1到n，x-(k-1)/k大于0。

这个等式还可以推出很多有意思的结果。


需要用复杂的多重积分还很容易出错的题，抓住本质，就是这么简单，直接得住答案。

其实是把几何问题用本质的代数表示出来，变成代数问题，然后再把代数表示转成了别的高纬度空间。用这本质的代数表示做桥梁，相当于拓扑变换了，严格说来还得有点这拓扑变换密度分布没变化的证明。

yuange1975

原题圆形水池里4只鸭子随机游走，问共半圆的概率？

这原题太简单，现推广成更一般性的问题。

n维度球体表面面积均匀分布的m个点，球体表面积S，问都处于任意一个球表面面积为x*S(0<=x<=1)的“球拱”内的概率p(n,m,x)=?
这个概率和这个面积的形状是有关的，现在是求最简单的对称的球拱情形，还可以更复杂的几何图形。

球拱就是球体用一个平面切下来的几何体，其表面积只算球体表面积不算切面面积。


这个问题，流行这个鸭子共半圆的概率题的时候，做了更一般性推广，解出来了二维的全部和n维的0<=x<=1/2的情形。

二维n=2，我已经非常巧妙的解决得到通项公式，参见 https://weibo.com/6236276241/4946938983088401 。

当时任意n维球体的半球或者以下的球拱也已经得到通项公式。

现在问题是求通用的p(n,m,x)=?