四等分平面图形面积

yuange1975

做切圆切球问题，想到一个问题。

平面上任意一个封闭图形，都存在两条互相垂直的直线将它面积四等分，为什么？

同样立体空间里也成立。

空间上任意一个封闭几何体，都存在两个互相垂直的平面将它体积四等分，为什么？



现实问题就是是否能够垂直两刀均分西瓜、披萨等成价值相等的四份？

不管什么形状的，总能垂直两刀分成体积一样的四份，或者说“价值”一样的四份。
价值不等同于体积，比如披萨上的肉、蘑菇、披萨饼有不同的价值。

不管怎样的形状，怎么样的价值标准，总可以垂直切两刀均分成价值相等的四等份。

yuange1975

做切圆切球问题，想到一个问题。

平面上任意一个封闭图形，都存在两条互相垂直的直线将它面积四等分，为什么？

同样立体空间里也成立。

空间上任意一个封闭几何体，都存在两个互相垂直的平面将它体积四等分，为什么？


现实问题就是是否能够垂直两刀均分西瓜、披萨等成价值相等的四份？

不管什么形状的，总能垂直两刀分成体积一样的四份，或者说“价值”一样的四份。
价值不等同于体积，比如披萨上的肉、蘑菇、披萨饼有不同的价值。

不管怎样的形状，怎么样的价值标准，总可以垂直切两刀均分成价值相等的四等份。


⚠️⚠️⚠️
好像还可以有加强版本。

n维度空间，存在n个互相垂直的“面”，把封闭有限的几何空间切成2^n份具有相同“体积”或者“价值”的部份。


好像真的可以一个个维度叠加上去。  二维首先w=0，x轴来一刀，分成上下两块。  

再上下两块各自独立，垂直前面x轴一刀，就是平行y轴的各自得到解x1、x2。x1、x2有可能不是一个点，但必定是连续区间。

得到f(0)=x1-x2。 以原点为中心旋转x轴那一刀角度w，f连续。w到pi的时候，上下颠倒，有f(pi)=x2-x1，f必有0点。  

这样可以一个个维度叠加上去。



⚠️⚠️⚠️

这个叠加上去是没有问题的，但最后推出有相同的切点有问题。

等于是三维得到二维空间里的两个连续曲线，首尾相连。这个推导不出来两段曲线有一个共同的切点（x,y)。

一维空间没有问题，两人上山下山，一维必定相遇，二维或者以上就不一定了。

最终这个加强的结论证明或者推翻，还需要重新证明。



⚠️⚠️⚠️

好像从代数角度有点通了。

一维，2个长度，一个总长度方程，只有1个自由度。切点只有一个坐标x

L1+L2=L
L1=f(x)

自由度符合，可能有解，再根据f(x)单调性，肯定有解。

二维，4个面积，总面积方程，只有3个自由度。切点坐标x,y和一个切法角度w，3个自由度变量，自由度符合。再结合单调性，有解。

3维，8个体积，7个自由度。切点坐标xyz，切法有球坐标2个θ和φ坐标，5个自由度变量要想控制7个自由变量，对于任意的空间，做不到。
如果是分成4份，3个自由度。又有5个自由度控制参数，太充裕。所以3维度空间切4部分就有太多方法。

⚠️⚠️⚠️所以最终是从代数自由度角度推翻了加强版本。

总算是有了结论了。

yuange1975

上面那个纬度，三维里第二刀还有一个纬度，总共6个自由度纬度。


https://www.zhihu.com/question/4 ... 2309288700?utm_id=0

n维度，原点n个自由度，第一个平面n-1个自由度，第二个平面n-2个自由度…。

n维平移是n自由度旋转是n(n-1)/2自由度，总共n(n+1)/2个自由度。

怎么一点印象没有，不过一想就能明白。

补上这一块，倒是高纬度几何旋转变换，可以有了抽象的代数直接运算。

高纬度几何旋转直接想象，三维都要命。要想肉身越狱到四维，想象脑袋都要爆炸。反而完全抽象的代数就更容易，很容易越狱。

这就是我之前解决鸭子共圆弧的概率推广问题时理解到的。
肉身越狱几何维度困难重重，思想越狱代数维度轻轻松松。