n阶方阵的行列式为奇数的概率

anonymous

n(n>1)阶方阵的每个元素均随机取自集合{0,1,2,...2k}(k为整数)，求它的行列式为奇数的概率.

.·.·.

盲猜1/2（可惜不对）
n=2时6/16=3/8
n=3时168/512=21/64

oeis搜索1, 6, 168得到
A002884                 Number of nonsingular n X n matrices over GF(2) (order of the group GL(n,2)); order of Chevalley group A_n (2); order of projective special linear group PSL_n(2).
(Formerly M4302 N1798)
有公式
a(n) = Product_{i=0..n-1} (2^n-2^i).
可以使用

更多的我暂时帮不了你了
要开组会了。

northwolves

1. Table[Length@Select[Table[Partition[v,{2}],{v,Tuples[Range[0,2k],{4}]}],OddQ[Det[#]]&]/(2k+1)^4,{k,20}]

复制代码

$n=2,k=1 to 20$
$P={\frac{16}{81},\frac{168}{625},\frac{720}{2401},\frac{2080}{6561},\frac{4800}{14641},\frac{9576}{28561},\frac{17248}{50625},\frac{28800}{83521},\frac{45360}{130321},\frac{68200}{194481},\frac{98736}{279841},\frac{138528}{390625},\frac{189280}{531441},\frac{252840}{707281},\frac{331200}{923521},\frac{426496}{1185921},\frac{541008}{1500625},\frac{677160}{1874161},\frac{837520}{2313441},\frac{1024800}{2825761}}$

gxqcn

根据同余原理，原行列式，与将各元素取关于2同余的行列式，奇偶性一致。

但集合{0,1,2,...2k}(k为整数)中，有k个奇数，k+1 个偶数，
如果集合里取奇数偶数的概率是对半分的话，
就无需限定在有限集合取数了。

mathe

2楼的问题比较好。
对于$F_2$中一个矩阵，有部分我们只需要判断其第一行就可以知道它是否不可逆：显然，只有第一行全部为0的情况可以仅根据第一行判断出矩阵不可逆，这在第一行所有可能选择中占比为$\frac 1{2^n}$，所以余下$1-\frac 1{2^n}$的比例中，还需要继续判断后面若干行的情况。
现在查看第一行不全为0的情况，那么如果第二行在第一行构成的线性空间中会不可逆，这种情况第二行可以写成第一行乘上一个常数（这个常数可以是0或1），所以第二行有两种情况使得矩阵不可逆，占所有可能选择的比例为$\frac 2{2^n}=\frac 1{2^{n-1}}$, 所以余下还有$1-\frac1{2^{n-1}}$的比例，还需要继续判断后面各行。
接下去继续查看根据前两行线性无关的情况下，那么如果第三行可以表示为前两行的线性组合，就可以判断矩阵不可逆，这种情况第三行可以写成第一行乘上一个常数加上第二行乘上另外一个常数，两个常数都可以选择0或1，所以共四种选择，最终得出余下还有$1-\frac1{2^{n-2}}$的比例，还需要判断后面各行情况。
依次类推，最后得出不可逆矩阵的比例为$\prod_{h=0}^{n-1}(1-\frac1{2^{n-h}})$.