关于四面体高和旁切球半径的几何不等式

lihpb00

四面体4条高分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
4个旁切球半径分别为r₁、r₂、r₃、r₄，
求证：

h₁h₂h₃h₄≥16r₁r₂r₃r₄

等号成立的充要条件是该四面体为正四面体

nyy

假设出六边长度，然后计算四条高，然后四个半径，然后证明

hejoseph

假设四面体体积为 \(V\)，四高 \(h_i\) 对应的底面面积为 \(S_i\)，\(S=S_1+S_2+S_3+S_4\)，那么
\[
r_i=\frac{3V}{S-2S_i}=\frac{S_ih_i}{S-2S_i}
\]
因而
\[
r_1r_2r_3r_4=\frac{S_1S_2S_3S_4}{(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)}\cdot h_1h_2h_3h_4
\]
要不等式成立就是要
\[
\frac{S_1S_2S_3S_4}{(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)}\leq\frac{1}{16}
\]
即
\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)\leq 0
\]
而
\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)=S(S_1+S_2-S_3-S_4)(S_1-S_2+S_3-S_4)(S_1-S_2-S_3+S_4)
\]
这就有可能不能成立了。举个具体例子：
取一个底面面积为6，其余三面的面积分别为2、3、4的四面体，能构造出底面是一个正三角形，边长约为3.72242，另外三棱长分别约为1.83065、2.48471、3.27819的四面体就满足条件，然而此时
\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)=225
\]
与所证明的不等式矛盾。
而且等号成立的条件也不对，起码对棱相等的四面体都能使等号成立，不一定要正四面体。

hejoseph

另外，你说的旁切球应该是说下图这种（共四个）

然而还有另外一种旁切球（最多会有三个）

其中红色的部分是原四面体的部分，你应该说明是哪种旁切球。

lihpb00

hejoseph 发表于 2023-10-2 12:48
假设四面体体积为 \(V\)，四高 \(h_i\) 对应的底面面积为 \(S_i\)，\(S=S_1+S_2+S_3+S_4\)，那么
\[
r_i=\f ...

这个是我在文献上面看到的，我自己都看不懂所以才发上来

帮我看看这个
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19145-1-1.html
这个是我自己做的，肯定对的，欢迎验证。