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[求助] 关于四面体高和旁切球半径的几何不等式

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发表于 2023-9-26 11:37:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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四面体4条高分别为h1、h2、h3、h4
4个旁切球半径分别为r1、r2、r3、r4
求证:

h1h2h3h4≥16r1r2r3r4

等号成立的充要条件是该四面体为正四面体
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-9-26 11:44:37 | 显示全部楼层
假设出六边长度,然后计算四条高,然后四个半径,然后证明
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发表于 2023-10-2 12:48:35 | 显示全部楼层
假设四面体体积为 \(V\),四高 \(h_i\) 对应的底面面积为 \(S_i\),\(S=S_1+S_2+S_3+S_4\),那么
\[
r_i=\frac{3V}{S-2S_i}=\frac{S_ih_i}{S-2S_i}
\]
因而
\[
r_1r_2r_3r_4=\frac{S_1S_2S_3S_4}{(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)}\cdot h_1h_2h_3h_4
\]
要不等式成立就是要
\[
\frac{S_1S_2S_3S_4}{(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)}\leq\frac{1}{16}
\]

\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)\leq 0
\]

\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)=S(S_1+S_2-S_3-S_4)(S_1-S_2+S_3-S_4)(S_1-S_2-S_3+S_4)
\]
这就有可能不能成立了。举个具体例子:
取一个底面面积为6,其余三面的面积分别为2、3、4的四面体,能构造出底面是一个正三角形,边长约为3.72242,另外三棱长分别约为1.83065、2.48471、3.27819的四面体就满足条件,然而此时
\[
16S_1S_2S_3S_4-(S-2S_1)(S-2S_2)(S-2S_3)(S-2S_4)=225
\]
与所证明的不等式矛盾。
而且等号成立的条件也不对,起码对棱相等的四面体都能使等号成立,不一定要正四面体。
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发表于 2023-10-2 12:56:50 | 显示全部楼层
另外,你说的旁切球应该是说下图这种(共四个)
1.png
然而还有另外一种旁切球(最多会有三个)
2.png
其中红色的部分是原四面体的部分,你应该说明是哪种旁切球。
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 楼主| 发表于 2023-10-9 00:48:37 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2023-10-2 12:48
假设四面体体积为 \(V\),四高 \(h_i\) 对应的底面面积为 \(S_i\),\(S=S_1+S_2+S_3+S_4\),那么
\[
r_i=\f ...

这个是我在文献上面看到的,我自己都看不懂所以才发上来

帮我看看这个
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19145-1-1.html
这个是我自己做的,肯定对的,欢迎验证。
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