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[讨论] 构造一个病态的单调函数

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发表于 2023-10-3 18:08:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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假设实值函数\(y=f(x)\)定义域为一切实数,严格单调递增,且\(f(0)=0\),同时存在常数\(k\),使得对于任意不为零的实数\(u\),均有\(\D \frac{f(u)}{u} \lt k\)。

问:函数在\(x=0\)处是否一定连续?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-10-3 19:20:27 | 显示全部楼层
很显然,对于$u \gt 0$, 有$0=f(0)<f(u)<ku$, 对于$u\lt 0$,有$uk \lt f(u)\lt 0$
所以$0=\lim_{u\to 0-} ku \le \lim_{u\to 0} f(u)\le \lim_{u\to 0+} ku=0$
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