构造一个病态的单调函数

manthanein

假设实值函数\(y=f(x)\)定义域为一切实数，严格单调递增，且\(f(0)=0\)，同时存在常数\(k\)，使得对于任意不为零的实数\(u\)，均有\(\D \frac{f(u)}{u} \lt k\)。

问：函数在\(x=0\)处是否一定连续？

mathe

很显然，对于$u \gt 0$, 有$0=f(0)<f(u)<ku$, 对于$u\lt 0$,有$uk \lt f(u)\lt 0$
所以$0=\lim_{u\to 0-} ku \le \lim_{u\to 0} f(u)\le \lim_{u\to 0+} ku=0$