求证，当k>2m且m≥0时，下面的不等式成立

EulerKepler

求证，当 \(k \gt 2 m\) 且 \(m \geq 0\) 时，下面的不等式成立。
\[ (k-2m)\sqrt{1+k^2} +\left(\frac{1}{k} + 2m\right)\sqrt{1+\left(\frac{1}{k}\right)^2} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\]

mathe

挺怪异的构造，但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)
即
\((k+(\frac2k-2)m+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)
于是显然在$k\le 1$时，m=0左边取得最小值，所以这时左边\(\ge (k+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \ge 2\sqrt{1/k} \sqrt{2k}=2\sqrt{2}\gt \frac{3\sqrt{3}}2\).
而在$k \gt 1$时，显然m越大越小，于是左边  \(\gt (k+(\frac2k-2)\frac k2+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(1+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(\frac12+\frac12+\frac1{k^2})\sqrt{1+\frac{k^2}2+\frac{k^2}2}\ge 3\sqrt[3]{\frac1{4k^2}}\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{k^4}4}}=\frac{3\sqrt{3}}2\)

EulerKepler

mathe 发表于 2023-10-3 19:15
挺怪异的构造，但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3 ...

谢谢！

Jack315

【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立：
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+\frac{1}{k^2}} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\]

求解代码：

1. Reduce[{(k - 2 m) Sqrt[1 + k^2] + (1/k + 2 m) Sqrt[1 + 1/k^2] > 3/2 Sqrt[3]}, {k, m} \[Element] Reals]

复制代码

答案分为五种情况：
1) k < -1

1. k < -1 && m < -(3/4) Sqrt[3] Sqrt[k^2/((1 + k)^2 (1 + k^2))] + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))

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2) -1 < k < 0

1. -1 < k < 0 && m > 3/4 Sqrt[3] Sqrt[k^2/((1 + k)^2 (1 + k^2))] + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))

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3) 0 < k < 1

1. 0 < k < 1 && m > 3/4 Sqrt[3] Sqrt[k^2/((-1 + k)^2 (1 + k^2))] + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k)

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4) k > 1

1. k > 1 && m < -(3/4) Sqrt[3] Sqrt[k^2/((-1 + k)^2 (1 + k^2))] + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k))

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5) k = 1 时，m 无论取何值都能使不等式成立。
注：
题目隐含 k 不能为零。
k = 1 时，m 无论取何值都能使不等式成立。
k = -1 时，m 无论取何值都不能使不等式成立。

下图中横坐标为 k ，纵坐标为 m ：

EulerKepler

Jack315 发表于 2023-10-4 15:43
【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立：
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+ ...

谢谢