找回密码
 欢迎注册
查看: 1248|回复: 4

[求助] 求证,当k>2m且m≥0时,下面的不等式成立

[复制链接]
发表于 2023-10-3 18:46:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?欢迎注册

×
求证,当 \(k \gt 2 m\) 且 \(m \geq 0\) 时,下面的不等式成立。
\[ (k-2m)\sqrt{1+k^2} +\left(\frac{1}{k} + 2m\right)\sqrt{1+\left(\frac{1}{k}\right)^2} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-10-3 19:15:57 | 显示全部楼层
挺怪异的构造,但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)

\((k+(\frac2k-2)m+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3\sqrt{3}}2\)
于是显然在$k\le 1$时,m=0左边取得最小值,所以这时左边\(\ge (k+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2} \ge 2\sqrt{1/k} \sqrt{2k}=2\sqrt{2}\gt \frac{3\sqrt{3}}2\).
而在$k \gt 1$时,显然m越大越小,于是左边  \(\gt (k+(\frac2k-2)\frac k2+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(1+\frac1{k^2})\sqrt{1+k^2}=(\frac12+\frac12+\frac1{k^2})\sqrt{1+\frac{k^2}2+\frac{k^2}2}\ge 3\sqrt[3]{\frac1{4k^2}}\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{k^4}4}}=\frac{3\sqrt{3}}2\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-10-3 21:57:35 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2023-10-3 19:15
挺怪异的构造,但是不是太难。不等式可以改写为
\((k-2m+\frac1{k^2}+\frac{2m}k)\sqrt{1+k^2} \gt \frac{3 ...

谢谢!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-10-4 15:43:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 Jack315 于 2023-10-4 15:45 编辑

【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立:
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+\frac{1}{k^2}} > \frac{3}{2}\sqrt{3}\]

求解代码:
  1. Reduce[{(k - 2 m) Sqrt[1 + k^2] + (1/k + 2 m) Sqrt[1 + 1/k^2] > 3/2 Sqrt[3]}, {k, m} \[Element] Reals]
复制代码


答案分为五种情况:
1) k < -1
  1. k < -1 && m < -(3/4) Sqrt[3] Sqrt[k^2/((1 + k)^2 (1 + k^2))] + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))
复制代码

2) -1 < k < 0
  1. -1 < k < 0 && m > 3/4 Sqrt[3] Sqrt[k^2/((1 + k)^2 (1 + k^2))] + (-1 + k^3)/(2 k (1 + k))
复制代码

3) 0 < k < 1
  1. 0 < k < 1 && m > 3/4 Sqrt[3] Sqrt[k^2/((-1 + k)^2 (1 + k^2))] + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k)
复制代码

4) k > 1
  1. k > 1 && m < -(3/4) Sqrt[3] Sqrt[k^2/((-1 + k)^2 (1 + k^2))] + (1 + k^3)/(2 (-1 + k) k))
复制代码

5) k = 1 时,m 无论取何值都能使不等式成立。
注:
题目隐含 k 不能为零。
k = 1 时,m 无论取何值都能使不等式成立。
k = -1 时,m 无论取何值都不能使不等式成立。

下图中横坐标为 k ,纵坐标为 m :
k小于零.png
k大于零.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-10-5 19:15:33 | 显示全部楼层
Jack315 发表于 2023-10-4 15:43
【把题目反过来】
\(k, m\) 取何值时下列不等式成立:
\[(k-2m)\sqrt{1+k^2} + (\frac{1}{k} + 2m)\sqrt{1+ ...

谢谢
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-10-11 08:26 , Processed in 0.031435 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表