求最小值为什么运行不出来？

EulerKepler

在mathematica里面，为什么这个求最小值运行大概10分钟
\[ \text{Minimize}\left[\left\{(b-a) \sqrt{a^2+2 a b+b^2+1}+(c-b) \sqrt{b^2+2 b c+c^2+1},(a+b) (b+c)=-1\land a<b\land b<c\right\},\{a,b,c\}\right] \]
可以得到结果
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\left\{a\to -\frac{1}{2 \left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)},b\to -\frac{1}{\sqrt{2}},c\to \sqrt{2}\right\}\right\}\]
而
\[ \text{Minimize}\left[\left\{(c-a) \sqrt{a^2+2 a c+c^2+1}+(c-b) \sqrt{b^2+2 b c+c^2+1},(a+c) (b+c)=-1\land a<b\land b<c\right\},\{a,b,c\}\right] \]
运行几个小时却还在运行中？

EulerKepler

这个可以

1. Minimize[{(-a + b) Sqrt[1 + a^2 + 2 a b + b^2] + (-b + c) Sqrt[1 + b^2 + 2 b c + c^2], (a + b) (b + c) == -1 && a < b &&  b < c}, {a, b, c}]

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这个不行

1. Minimize[{(-a + c) Sqrt[1 + a^2 + 2 a c + c^2] + (-b + c) Sqrt[ 1 + b^2 + 2 b c + c^2], (a + c) (b + c) == -1 && a < b && b < c}, {a, b, c}]

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lihpb00

上下两行不是一样的吗？

Jack315

改用 NMinimize 命令试试。

EulerKepler

lihpb00 发表于 2023-10-5 20:17
上下两行不是一样的吗？

大致一样，唯一就是b和c的位置有点差别。我也奇怪，程序长时间运行没有结果，不知发现了什么情况，请问有办法诊断和调试吗？

nyy

第二个求解结果

\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\left\{a\to -\sqrt{2},b\to \frac{1}{\sqrt{2}},c\to \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\]

建议你把其中的a<b b<c修改成a<=b b<=c

northwolves

1. x=FindMinimum[{(c-a) Sqrt[1+(a+c)^2]+(c-b) Sqrt[1+(b+c)^2],(a+c) (b+c)==-1&&a<=b<=c},{a,b,c},WorkingPrecision->50]

复制代码

FindMinimum也很快。

EulerKepler

nyy 发表于 2023-10-7 10:44
第二个求解结果

\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\left\{a\to -\sqrt{2},b\to \frac{1}{\sqrt{2}},c\to \fr ...

只把<改成<=没有用，是不是我计算机配置太差？

EulerKepler

northwolves 发表于 2023-10-7 16:34
FindMinimum也很快。

FindMinimum这个可以，只是变成结果是小数，不再是无理数的形式了。

northwolves

1. x=FindMinimum[{(c-a) Sqrt[1+(a+c)^2]+(c-b) Sqrt[1+(b+c)^2],(a+c) (b+c)==-1&&a<=b<=c},{a,b,c},WorkingPrecision->20]

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{2.5980762013711028316,{a->-1.4142135606850823049,b->0.70710678472156829333,c->0.70710678134554538765}}

目测b=c or a+b+c=0,添加到条件之中：

1. Minimize[{(c-a) Sqrt[1+(a+c)^2]+(c-b) Sqrt[1+(b+c)^2],(a+c) (b+c)==-1&&a<=b<=c&&b=c},{a,b,c}]

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1. Minimize[{(c-a) Sqrt[1+(a+c)^2]+(c-b) Sqrt[1+(b+c)^2],(a+c) (b+c)==-1&&a<=b<=c&&b+c+a==0},{a,b,c}]

复制代码

秒出

$\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\{a\to -\sqrt{2},b\to \frac{1}{\sqrt{2}},c\to \frac{1}{\sqrt{2}}\}\}$