已知四面体的三个面面积和三个二面角，能否求四面体体积

lihpb00

已知四面体的三个面面积以及这三个面两两所夹的二面角，能否求四面体体积

yuange1975

四面体6条边确定就确定了，有6个自由度。给出6个无冗余的条件就有解，只是有可能是有多个解。


比较简单一点的就是同一个顶点的三个面积和三个二面角条件。
同一顶点的三个棱角和三个二面角之间有关系，6个变量3个关系等式。如果是同一顶点的三个二面角，可以解出来三个棱角，有可能有多解。

三个棱角确定了，如果三个面积也是同一顶点的，那就可以解出来三棱，然后四面体就确定了。

如果不是直接一个顶点的，方程比较复杂变量又多，解起来就有点复杂了。不过用软件或者写代码解数值解应该没问题。

northwolves

似乎四面体的任意三个面都有一个共同的顶点

northwolves

$V_{P-ABC}=kS_{PAB}S_{PBC}S_{PCA},k=\frac{2sin(\angleA-PB-C)}{3PA*S_{trianglePBC}$

mathe

对于给定的四面体ABCD，其空间任意一点X，我们可以采用其“体积坐标”来表示，也就是\((\frac{V_{XBCD}}{V_{ABCD}},\frac{V_{XACD}}{V_{ABCD}},\frac{V_{XABD}}{V_{ABCD}},\frac{V_{XABC}}{V_{ABCD}})\), 需要注意这些体积是有符号的，这是一个射影坐标系表示方式。
我们假设交于A点的三个面的面积和它们两两夹角已经知道，分别为\(S_{ABC},S_{ACD},S_{ABD},\angle B-AC-D,\angle C-AB-D, \angle B-AD-C\)
现在假设D在ABC平面的投影为D', 那么于是我们可以计算出三角形ABD'的面积为\(S_{ABD'}=S_{ABD} \cos(\angle C-AB-D)\)， 同样可以计算出\(S_{ACD'}\), 由于我们已经知道\(S_{ABC}\), 所以还可以计算出\(S_{BCD'}\). 由于\(V_{D'BCD}:V_{D'ACD}:V_{D'ABD}=S_{BCD'}:S_{ACD'}:S_{ABD'}\)
而且\(V_{D'BCD}=0\), 我们可以得到D'的体积坐标。
类似我们还可以计算出B',C‘的体积坐标。
而D,B,C三点的体积坐标已知，分别为(0,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)。
现在我们假设这个射影坐标系变换到普通直角坐标系的变换矩阵是一个\(4\times4\)阶矩阵P, 16个参数，15个自由度。
对于上面七个点A,B,C,D,B',C',D', 我们可以表示出它们在普通直角坐标系中的齐次坐标形式，比如\(PD'=(d'_x,d’_y,d'_z,d'_w)\),那么它的普通坐标形式就是\((\frac{d'_x}{d'_w},\frac{d'_y}{d'_w},\frac{d'_z}{d'_w})\).
现在我们可以指定变换以后A到原点，得到三个方程；变换后平面BCD平行x-y平面，那么B,C,D三点的z坐标相等，得到两个方程；再假设BC平行x轴，又得到一个方程，已经有6条约束方程。
由于我们知道B'在平面ACD上，得到一个方程，BB'垂直平面ACD,又得到两条方程；所以关于B'有三条方程，同样过于C',D'也各三条方程。
这样我们正好总共得出15条方程。
通过解上面16个变量（15个自由度)15条方程的非线性方程组(应该是二次的），我们就可以计算出矩阵P(不能保证答案唯一性), 最终可以确定A,B,C,D三点变换后的坐标然后计算出体积。
  由于D'是D在

yuange1975

其实算数值解没有多大难度。算空间所有密铺可能，这种精确解才算有难度。

四面体简单的6条边确定就所有的确定了，就是有6个自由度。

4个面的面积都比较简单，还有12个棱角都简单，一个顶点的三个棱角确定了，每个二面角也有简单的公式。
体积相应的公式也简单。

这样这些变量每一个都能用这6条棱中的一些表示出来，然后就是任意这些6个已知条件的方程，可以解出来6条边，以及算出所有其它变量。

当然可能会有多解情况。

lihpb00

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lihpb00

mathe 发表于 2023-10-6 20:56
对于给定的四面体ABCD，其空间任意一点X，我们可以采用其“体积坐标”来表示，也就是\((\frac{V_{XBCD}}{V_ ...

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=19250#lastpost，答案是这个，不会出现多解