请问这道题第2问怎么编程求解?请贴源代码(Mathematica或者其他软件都行)

EulerKepler

请问这道题第2问怎么编程求解?请贴出您的源代码(Mathematica或者其他软件都行)，感谢！
第1问简单，手算一下，答案就是:
4x² - y² = 16。关键是第2问，手算难度很大。

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*计算MN两点的坐标*)
   
3. ans={x,y}/.Solve[{x^2/4-y^2/16==1,y==k*(x-(-4))},{x,y}]//FullSimplify
   
4. (*得到MN两个点的坐标*)
   
5. {{xn,yn},{xm,ym}}=ans(*用k=3代入,可以得到后面的是M(在第二象限),前面的是N*)
   
6. {x1,y1}={-2,0};(*A1坐标*)
   
7. {x2,y2}={+2,0};(*A2坐标*)
   
8. (*列方程组,求解出P点*)
   
9. aaa=Solve[{
   
10.     (yp-ym)/(xp-xm)==(yp-y1)/(xp-x1),
    
11.     (yp-yn)/(xp-xn)==(yp-y2)/(xp-x2)
    
12. },{xp,yp}]//FullSimplify
    

复制代码

不客气地说，这些很弱智。应该用的是根与系数关系来求解的。
NM两点的坐标是
\[\left(
\begin{array}{cc}
-\frac{4 \left(k^2+\sqrt{3 k^2+4}\right)}{k^2-4} & -\frac{4 k \left(\sqrt{3 k^2+4}+4\right)}{k^2-4} \\
\frac{4 \left(\sqrt{3 k^2+4}-k^2\right)}{k^2-4} & \frac{4 k \left(\sqrt{3 k^2+4}-4\right)}{k^2-4} \\
\end{array}
\right)\]

P点的横坐标是
\[\left\{\left\{\text{xp}\to -1,\text{yp}\to -\frac{2 \left(\sqrt{3 k^2+4}+2\right)}{k}\right\}\right\}\]

由于p点的横坐标=-1，因此P点在x=-1这条直线上

EulerKepler

nyy 发表于 2023-10-12 11:23
不客气地说，这些很弱智。应该用的是根与系数关系来求解的。
NM两点的坐标是
\[\left(

谢谢，题目是今年新高考2的考试题。

nyy

EulerKepler 发表于 2023-10-12 14:04
谢谢，题目是今年新高考2的考试题。

这题其实很简单。难道你自己写不出代码吗？
还是对mathematica不熟悉？

aimisiyou

nyy 发表于 2023-10-12 17:06
这题其实很简单。难道你自己写不出代码吗？
还是对mathematica不熟悉？

考试时也可以用软件计算吗？

nyy

aimisiyou 发表于 2023-10-12 18:24
考试时也可以用软件计算吗？

我还需要高考吗？

mathe

这个题目本质上是射影几何题。
注意到给定定点和A1,A2三点共线，做射影变换将C变化为圆而给定定点变换为圆心，于是A1A2变化为圆一条给定直径，而MN为动直径，显然A1M和A2N平行，也就是它们相交于无穷远直线。所以变化前交点轨迹也是直线

nyy

nyy 发表于 2023-10-12 11:23
不客气地说，这些很弱智。应该用的是根与系数关系来求解的。
NM两点的坐标是
\[\left(

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,三点共线则行列式等于零,pta={2,3}之类*)
   
3. sdgx[pta_,ptb_,ptc_]:=Det[{ptb-pta,ptc-pta}]
   
4. (*计算MN两点的坐标*)
   
5. ans={x,y}/.Solve[{x^2/4-y^2/16==1,m*y==(x-(-4))},{x,y}]//FullSimplify;
   
6. (*得到MN两个点的坐标*)
   
7. {pN,pM}=ans (*用k=3代入,可以得到后面的是M(在第二象限),前面的是N*)
   
8. pA1={-2,0};(*A1坐标赋值*)
   
9. pA2={+2,0};(*A2坐标赋值*)
   
10. (*列方程组,求解出P点*)
    
11. aaa=Solve[{
    
12.     sdgx[{xp,yp},pM,pA1]==0,(*PMA1三点共线*)
    
13.     sdgx[{xp,yp},pN,pA2]==0(*PNA2三点共线*)
    
14. },{xp,yp}]//FullSimplify
    

复制代码

修改代码，增加代码的可读性，增加注释，
求解结果
\[\left(
\begin{array}{cc}
\frac{4-4 m \sqrt{4 m^2+3}}{4 m^2-1} & \frac{12}{4 m+\sqrt{4 m^2+3}} \\
\frac{4 \left(m \sqrt{4 m^2+3}+1\right)}{4 m^2-1} & -\frac{12}{\sqrt{4 m^2+3}-4 m} \\
\end{array}
\right)\]

P点求解结果
\[\left\{\left\{\text{xp}\to -1,\text{yp}\to 2 \left(\sqrt{4 m^2+3}-2 m\right)\right\}\right\}\]

这个求解结果包含了斜率不存在的情况！

EulerKepler

nyy 发表于 2023-10-12 17:06
这题其实很简单。难道你自己写不出代码吗？
还是对mathematica不熟悉？

不怎么熟，刚刚学习了几天。不过感觉这个软件很强大，在中学范围内，包括数学竞赛，好像没有它解决不了的数学问题。

EulerKepler

mathe 发表于 2023-10-12 21:24
这个题目本质上是射影几何题。
注意到给定定点和A1,A2三点共线，做射影变换将C变化为圆而给定定点变换为圆 ...

请问射影变换是可以将双曲线所在平面上的任意一点变为圆心，同时双曲线变为圆吗？