N^2拆分后和为N

aimisiyou

自然数N的平方结果按字符顺序拆分后和值为N。N满足哪些特性？

northwolves

$N%9={0,1}$

aimisiyou

northwolves 发表于 2023-10-25 15:52
$N%9={0,1}$

还有吗？

northwolves

$10^n,10^n-1$ 在列

若k在列，则多数$10^n-k$ 也在列

很多三角数：{1, 10, 36, 45, 55, 91, 703, 990}

mathe

感觉对于充分大的n,大部分满足\(n\equiv 0,1 \pmod 9\)的n都应该可以

lsr314

这样的数应该是越来越稀疏的。假设一个$k$位数$n$，$n≈10^k$.
那么$n^2$的位数大约是$2k$，要使和为$k$位数，我们一般要取其中一个连续的$k$位或者$k-1$位数，不然和是小于$k$位的，这样的取法大约有$k$种（或者$2k$种，影响不大）。
这样还剩下$k$个数，大约有$2^k$种划分方法，每一种使和为$n$的概率大约为$1/n$,即总概率的数量级大约是$k*2^k/10^k≈k/5^k$.

aimisiyou

感觉这样的数应该是越来越稀疏……

northwolves

k位数满足条件的个数：{3, 7, 29, 47, 100, 221, 411, 849, 1523}