复多项式问题

pizza49

$f (z) =az^2+bz+c\in \mathbb{C} [ z ] , \forall |z|\le 1\, |f(z)|\le1,max{ |a|+|b|+|c| } =?$

nyy

你完全可以把这个变成实数变量，然后求解最值

mathe

根据最大模原理，我们只要保证对于任意|z|=1,必然有$|f(z)|\le 1$即可。
由于对于函数所有系数同时乘上一个模为1的常数，不改变|f(z)|,我们总可以假设c为非负实数。
然后设a的幅角为2t,那么\(f(z\exp(-ti))=a\exp(-2ti) z^2+b\exp(-ti) z+c\)
我们可以用\(a\exp(-2ti)\)替换a,\(b\exp(-ti)\)替换b,不改变题目性质和结论，而替换后a也为非负实数。
所以我们可以仅分析a,c同时为非负实数的情况。

于是这时\(\frac{f(z)}z=az+\frac cz+b\)
由于|z|=1,设\(z=\cos(u)+i\sin(u)\),所以\(az+\frac cz=(a+c)\cos(u)+i(a-c)\sin(u)\)
于是可以看出\(\frac{f(z)}z=az+\frac cz+b\)是以复数b为中心，a+c为半长轴，|a-c|为半短轴的椭圆，这个椭圆完全在单位圆内部，这时我们要求a+c+|b|的最大值。显然a+c不变时，a-c=0才可能取到最大。

于是我们先取a=c,题目变为以复数b为中心，长度为2(a+c)的水平直线段完全在单位圆内部，这时要求a+c+|b|最大。根据对称性，不妨设b在第一象限（包含坐标轴), 设\(b=x_0+i y_0, x_0\ge 0,y_0\ge0\),
于是要求\((a+c+x_0)^2+y_0^2 \le 1\),求\(a+c+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\)的最大值。
很显然\(a+c+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\le \sqrt{2((a+c)^2+x_0^2+y_0^2)}\le\sqrt{2((a+c+x_0)^2+y_0^2)}\le \sqrt{2}\)
而我们可以在\(x_0=0,a+c=y_0\)时取到等号，这时\(a=c=\frac{\sqrt{2}}4,b=\frac{\sqrt{2}i}2\),这时\(|a|+|b|+|c|\)取到最大值\(\sqrt{2}\)

aimisiyou

mathe 发表于 2023-10-26 12:28
根据最大模原理，我们只要保证对于任意|z|=1,必然有$|f(z)|\le 1$即可。
由于对于函数所有系数同时乘上一个 ...

a,b,c应该是实数吧？