多项式极值极值方程式问题

yuange1975

多项式极值极值方程式问题

一些多项式极值因为极值点是高次方程，极值点解没有解析解或者解析解非常复杂，就导致计算极值非常困难，或者不容易化简。

其实我们可以把极值当成未知数，得到极值方程，就方便直接处理极值了。

之前用的待定系数法去解极值方程，高次求解比较慢，解这个方程也没什么好的算法，比较依靠软件。
最近做另外一个问题的时候，想到了其实极值表达式和极值点方程就是两个多项式，多项式可以用辗转相除法消元，然后就得到极值方程了。
辗转相除法算法非常简单，可以很快速的计算出来。所以把以前得到多项式极值方程的算法改写了一下。程序也处理了辗转相除时首系数包含未知数时系数为0的情况。

⚠️⚠️⚠️其实这个算法，不局限于求极值方程，可以求两个多项式有重根的情况，计算曲线相切情况的系数等等。
包括多元高次多项式方程组，最终都可以用这方法化成一个一元高次方程，然后求解。

测试用例测试了常见一些各种极值钓鱼贴的情况，效果非常好。
还给出一个案例，方程极值点是不可分解的四次方程，但是极值非常简单一个平方根。如果得到极值点去计算极值，化简非常困难，很难得到最终这么简单的极值表达式。


算法的Python代码实现：

1. #fxm.py  Polynomial Multiple Roots and Maxima Minima Problem copy by yuange 2023.10.22
   
2. from sympy import *
   
3. rn="\r\n"
   
4. x,m=symbols('x m',real=True)
   
5. 
   
6. def remfa(fm,fa):
   
7.     if fm==0 :
   
8.        return fm
   
9.     gcdm=gcd(fm,fa)  
   
10.     fm=cancel(fm/gcdm)
    
11.     while (1):
    
12.       gcdm=gcd(fm,gcdm)
    
13.       fm=cancel(fm/gcdm)
    
14.       if gcdm==1:
    
15.          return fm
    
16.          
    
17. def sfm(gm,fm,nfm):
    
18.     gm=remfa(gm,nfm)
    
19.     fm1=gcd(gm,fm)
    
20.     return fm1,nfm
    
21. 
    
22. def snfm(gm,fm,nfm):
    
23.     nfm1=factor(cancel(gm*nfm/gcd(gm,nfm)))
    
24.     fm=remfa(fm,gm)
    
25.     return fm,nfm1
    
26. 
    
27. def fxzz(fma,fx,gx,fm,nfm):
    
28. 
    
29.     gx=collect(expand(gx),x)
    
30.     n=Poly(gx,x).degree()
    
31.     if n <=0:
    
32.        g1,g2=fraction(cancel(gx),m)
    
33.        fm1,nfm1=sfm(g1,fm,nfm)
    
34.        if Poly(g1,m).degree() !=0:
    
35.           fm1=fm1/factor_list(fm1)[0]
    
36.           fm1=factor(fm1)
    
37.           f1,f2=fraction(cancel(fx),x)
    
38.           fx1=remfa(f1,nfm)
    
39.           fx1=fx1/factor_list(fx1)[0]
    
40.           fx1=collect(fx1,x)
    
41.           n1=Poly(fm1,m).degree()
    
42.           if n1 !=0:
    
43.              flist={}
    
44.              flist['fm1']=fm1
    
45.              flist['fx1']=fx1
    
46.              flist['fx']=factor(f1)/factor(f2)
    
47.              flist['gx']=factor(g1)/factor(g2)
    
48.              flist['fm']=fm
    
49.              flist['nfm']=nfm
    
50.              fma.append(flist)
    
51. 
    
52.     else:
    
53. 
    
54.         xn=collect(gx,x).coeff(x,n)
    
55.         g1,g2=fraction(cancel(xn))
    
56. 
    
57.         fm1,nfm1=snfm(g1,fm,nfm)
    
58.         n1=Poly(fm1,m).degree()
    
59.         if n1!=0:
    
60.            hx=rem(fx,gx,x)
    
61.            fxzz(fma,gx,hx,fm1,nfm1)
    
62.         fm1,nfm1=sfm(g1,fm,nfm)
    
63.         n1=Poly(fm1,m).degree()
    
64.         if n1>=1:
    
65.            gx2=gx-xn*x**n
    
66.            fxzz(fma,fx,gx2,fm1,nfm1)
    
67.            
    
68. def fxm(fx):
    
69.     fx=cancel(fx)
    
70.     g1,g2=fraction(fx)
    
71.     print(rn,"fx=",fx)
    
72.     f=m*g2-g1
    
73. 
    
74.     g=diff(f,x)
    
75.     f=collect(expand(f),x)
    
76.     g=collect(expand(g),x)
    
77.     #print(rn,"f=",f)
    
78.     print(rn,"g=",factor(g))
    
79.     fma=[]
    
80.     fxzz(fma,f,g,0,1)
    
81.     print(rn,"fma=",fma)
    
82.     fm1=fma[0]['fm1']
    
83.     print(rn,"fm1=",fm1)
    
84.     print(rn,solve(fm1,m))
    
85.     #print(rn,rn,solve(1.0*fm1,m))
    
86.    
    
87. 
    
88. def fxmtest():
    
89. 
    
90.     sinx=2*x/(1+x*x)
    
91.     cosx=(1-x*x)/(1+x*x)   
    
92.     f1=sinx+5/(1-cosx)
    
93.     f2=sinx*sinx+cosx
    
94.     f3=sinx*sinx*cosx+3*sinx-4*cosx
    
95.     t=x
    
96.     f4=4*(4*t**2+4*t+1)*(4*t**2+t+1)/(20*t**2+11*t+5)**2   
    
97.     f5=5*cosx+cosx/sinx
    
98.     f6=1/(sinx+2)+1/(cosx+3)
    
99.     f7=2/sinx+1/(cosx+1)
    
100.     f8=sinx*sinx*cosx+3*sinx-4*cosx   
     
101.     f9=sinx+1/cosx
     
102.     f=3125*x**5+9375*x**4+3125*x**3-7875*x*x-2525*x+1023
     
103.    
     
104.     fxm(f)
     
105.    
     
106. fxmtest()

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