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[求助] 数列渐近式问题

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发表于 2023-11-11 17:11:24 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 pizza49 于 2023-11-11 17:12 编辑

$x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{4}$,当$x_{1}>1$或$x_{1}<0$时,$x_{n}\rightarrow -\infty $,怎么估计$x_{n}$渐近式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-11-17 13:44:49 | 显示全部楼层
当$x_1 > 1$时,$x_2 < 0$,所以只考虑$x_1 < 0$即可。

又因为$-x_{n+1} = -x_n + (-x_n)^4$,所以设$y_n = -x_n$,问题就等价变成$y_1 > 0$时有$y_{n+1} = y_n^4 + y_n$。

可以参考 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... amp;page=1#pid55470
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发表于 2023-11-17 18:10:37 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2023-11-17 13:44
当$x_1 > 1$时,$x_2 < 0$,所以只考虑$x_1 < 0$即可。

又因为$-x_{n+1} = -x_n + (-x_n)^4$,所以设$y_n  ...

$y_n=(y_1^4 + y_1)^(4^(n - 2))$ 应该比较接近了
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发表于 2023-11-17 18:20:21 | 显示全部楼层
  1. s=Table[Table[N@Log2[NestList[#^4+#&,k,10]][[n]]/4^(n-1),{n,10}],{k,10}]
  2. t=Table[{k,2^s[[k]]},{k,10}]
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0.        0.25        0.26062        0.260624        0.260624        0.260624        0.260624        0.260624        0.260624        0.260624
1.        1.04248        1.0425        1.0425        1.0425        1.0425        1.0425        1.0425        1.0425        1.0425
1.58496        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808        1.59808
2.        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559        2.00559
2.32193        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248        2.3248
2.58496        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663        2.58663
2.80735        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084        2.8084
3.        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007        3.0007
3.16993        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042        3.17042
3.32193        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229        3.32229

1        {1.,1.18921,1.19799,1.198,1.198,1.198,1.198,1.198,1.198,1.198}
2        {2.,2.05977,2.05979,2.05979,2.05979,2.05979,2.05979,2.05979,2.05979,2.05979}
3        {3.,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274,3.0274}
4        {4.,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553,4.01553}
5        {5.,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997,5.00997}
6        {6.,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693,6.00693}
7        {7.,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051,7.0051}
8        {8.,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039,8.0039}
9        {9.,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308,9.00308}
10        {10.,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025,10.0025}

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发表于 2023-11-24 12:51:20 | 显示全部楼层
以前学过好像有个叫牛顿迭代法的
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