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[提问] 请问方程的3个实数解的表达式怎么写?

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发表于 2023-11-13 12:29:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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请问下面方程的3个实数解的表达式怎么写?

\(- 4x^3 +3x =  \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
使用软件画图,可以明显看出有3个实数根。但只给出了数值,不能写出表达式。使用弱一元三次方程的求根公式也算不出来。
1元方程.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-11-13 13:01:31 | 显示全部楼层
右边是sin15°,左边是三倍角公式
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发表于 2023-11-13 13:21:08 | 显示全部楼层
sin5
sin(5+120
sin(5+120+120
这三个根,我用计算器验证过了
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发表于 2023-11-13 13:22:27 | 显示全部楼层
一元三次方程的解法(2)—三角函数法 - 王陈军的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/621873652

看看这个,对你应该有用,但是我从来没用过
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 楼主| 发表于 2023-11-13 14:27:23 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2023-11-13 13:21
sin5
sin(5+120
sin(5+120+120

sin5°也不是一个代数式吧,能不能写成有理数带根号的形式?
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发表于 2023-11-13 15:14:42 | 显示全部楼层
EulerKepler 发表于 2023-11-13 14:27
sin5°也不是一个代数式吧,能不能写成有理数带根号的形式?

有什么意义?

\[\begin{array}{l}
x\to -\frac{\sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{2\ 2^{2/3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
x\to \frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{4\ 2^{2/3}}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
x\to \frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{4\ 2^{2/3}}+\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
\end{array}\]

点评

这还能化简吗?两个复数开完立方根以后再相加,虚部为0了,这也是神奇的地方,奈何以前复数学得不好,只是在本科草草学了一个学期.  发表于 2023-11-13 18:40
nyy
复数开立方根,有什么意义?  发表于 2023-11-13 15:15
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发表于 2023-11-13 15:48:10 | 显示全部楼层
三次方程的公式解.png
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发表于 2023-11-13 16:42:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2023-11-13 16:44 编辑
EulerKepler 发表于 2023-11-13 14:27
sin5°也不是一个代数式吧,能不能写成有理数带根号的形式?


一元整系数整式方程的根就是代数数,代数数没规定必须是根号形式,五次方程的根就是例子。只要a是有理数,a°的三角函数值都是代数数。

点评

是我表达不好,滥用数学词汇。这个一元三次方程的来源就是sin5°,所以不想用sin5来表达结果,只想知道sin5°怎么用一个加减乘除开方来表达。  发表于 2023-11-13 18:44
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 楼主| 发表于 2023-11-13 18:32:45 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2023-11-13 15:14
有什么意义?

\[\begin{array}{l}

高手,我用mathematica就弄不出来这个结果。只有一个Root的表达式。大神能贴下源码吗?
Sin5-2.png
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 楼主| 发表于 2023-11-13 18:37:57 | 显示全部楼层

高手,这是不是一元三次方程的另外一个公式啊?因为使用了arccos函数。
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