请问方程的3个实数解的表达式怎么写？

EulerKepler

请问下面方程的3个实数解的表达式怎么写？

\(- 4x^3 +3x =  \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
使用软件画图，可以明显看出有3个实数根。但只给出了数值，不能写出表达式。使用弱一元三次方程的求根公式也算不出来。

nyy

右边是sin15°，左边是三倍角公式

nyy

sin5
sin(5+120
sin(5+120+120
这三个根，我用计算器验证过了

nyy

一元三次方程的解法（2）—三角函数法 - 王陈军的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/621873652

看看这个，对你应该有用，但是我从来没用过

EulerKepler

nyy 发表于 2023-11-13 13:21
sin5
sin(5+120
sin(5+120+120

sin5°也不是一个代数式吧，能不能写成有理数带根号的形式？

nyy

EulerKepler 发表于 2023-11-13 14:27
sin5°也不是一个代数式吧，能不能写成有理数带根号的形式？

有什么意义？

\[\begin{array}{l}
x\to -\frac{\sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{2\ 2^{2/3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
x\to \frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{4\ 2^{2/3}}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
x\to \frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}}}{4\ 2^{2/3}}+\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+i \sqrt{4 \sqrt{3}+8}\right)}} \\
\end{array}\]

TSC999

hejoseph

EulerKepler 发表于 2023-11-13 14:27
sin5°也不是一个代数式吧，能不能写成有理数带根号的形式？

一元整系数整式方程的根就是代数数，代数数没规定必须是根号形式，五次方程的根就是例子。只要a是有理数，a°的三角函数值都是代数数。

EulerKepler

nyy 发表于 2023-11-13 15:14
有什么意义？

\[\begin{array}{l}

高手，我用mathematica就弄不出来这个结果。只有一个Root的表达式。大神能贴下源码吗？

EulerKepler

TSC999 发表于 2023-11-13 15:48

高手，这是不是一元三次方程的另外一个公式啊？因为使用了arccos函数。