当每辆车都是随机停放时，停车场的利用率是多少？

KeyTo9_Fans

本题的数学模型和这篇贴子类似：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-1937-1-1.html

本题的详细描述如下：

停车场的长度为$L$（$L\rightarrow\infty$），宽度不考虑

每辆车的长度为$1$，宽度也不考虑

每辆车停放的位置都是随机的，具体的随机过程如下：

在$0$到$(L-1)$的范围里以均匀的分布随机选取一个实数$x$，如果区间$[x,x+1]$与之前停过的车不重叠，则这辆车就停在$[x,x+1]$这段区间里

否则不断地在$0$到$(L-1)$的范围里以均匀的分布重新随机选取实数$x$，直到区间$[x,x+1]$与之前停过的车不重叠为止，然后这辆车就停在$[x,x+1]$这段区间里

如果无论如何也找不到这样的一段区间，则认为这个停车场已经“停满了车”。

假设停车场一开始没有车，车辆是一辆一辆地“凭空出现”在停车场，出现后不会移动，也不会消失，问当这个停车场停满了车时，利用率是多少？

（利用率可以用【停放的车辆数】除以【停车场的长度L】来表示）

下图是L=7、每个格子长度为1的示意图（本题假设每辆车的长度都是1，车子不按格子来停，而是随机乱停）：

majer

一维平均停车密度是Rényi's constants ≈ 0.74759792

majer

平均停车数其实是求解一个积分方程。

\begin{equation}
M(L)= \begin{cases}0 & \text { for } 0 \leq L<1 \\ 1+\frac{2}{L-1} \int_0^{L-1} M(y) d y & \text { for } L \geq 1 .\end{cases}
\end{equation}

密度\begin{aligned}
d & \equiv \lim _{L \rightarrow \infty} \frac{M(L)}{L} \\
& =\int_0^{\infty} \exp \left(-2 \int_0^L \frac{1-e^{-y}}{y} d y\right) d L \\
& =0.7475979202 \ldots
\end{aligned}

KeyTo9_Fans

我还以为国内很少人研究这种问题，没想到知乎竟然有这个问题的科普文：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/459936634

文中的解题过程与结论都和楼上的一样，精确到32位的答案是0.74759792025341143517873094383018

lsr314

有意思，从来没想过这个问题。有没有人研究过高速车距保持在多少的时候，通行效率最高呢？如果离得太远，空间利用率不高，离得太近，需要频繁刹车，车速肯定不能太快，这个问题还是有研究价值的。

ShuXueZhenMiHu

不是100%吗？