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[猜想] 求证不等式(已知k=2时成立)

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发表于 2023-11-28 22:33:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 lihpb00 于 2023-11-28 22:42 编辑

已知a、b>0,0<θ<180,j和k均为正整数且1≤j≤k-1。
求证:
QQ图片20231128223007.png

k=2时是肯定成立的,即是三角形的角平分线小于等于中线,求证k≥3时的情形(即三角形的角k等分线是否小于等于对应的棱长k等分线)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-11-29 11:39:41 | 显示全部楼层
啥背景?这很难吧
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发表于 2023-11-29 17:48:54 来自手机 | 显示全部楼层
显然不成立。\(n\neq 2\)时会有\(n\)等分线与垂线重合,\(n\)角分线不重合的情况发生

点评

能不能算出当k≥3时在什么条件下才会成立  发表于 2023-11-30 22:31
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 楼主| 发表于 2023-11-30 22:31:24 来自手机 | 显示全部楼层
能不能算出当k≥3时在什么条件下才会成立

点评

如果对面两个都是锐角,对某些特定的n可能满足条件,但是总能找到不满足条件的n。  发表于 2023-12-1 09:37
我感觉另外两个角有一个大于等于90度,就会成立,如果对面两个都是锐角,是不满足的。  发表于 2023-12-1 09:31
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发表于 2023-12-1 10:03:48 | 显示全部楼层
对于对面两个角是锐角的情况,作这两个角公共边的高为h,垂足分公共边两侧长度分别为a和b,a≥b,假设a/b=m/n,m≥n为整数,如果a/b是无理数,可以 用整数比逼近。现在按(m+n)进行等分,则b侧第n根棱等分线为垂足,
只要证明(arctan(m*C)+arctan(n*C))*n/(m+n)≤arctan(n*C),这个式子在m≥n时是成立的,其中m*C=a/h,n*C=b/h。

点评

跟a,b,h都有关。  发表于 2023-12-1 10:57
那么问题来了,在m≠n的情况下,让m和n趋于无穷,那么某个k角等分和k线等分,将无限接近重合,这个k和m,n应该存在定量关系。  发表于 2023-12-1 10:27
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