本原勾股数数对中，有两个素数的

nyy

比如{3,4,5}这个数组中，有两个素数
{20,21,29}这个数组中，只有一个素数。
也有一个素数都没有的，比如{16, 63, 65}，这三个都是合数。

有没有可能三个都是素数？似乎不可能三个都是素数，但是我没办法证明！


现在列出包含两个素数的。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. max=2*10^6;(*边长的最大值*)
   
3. jmax=-1+Sqrt[-1+max];(*由j^2+(j+2)^2<=2*max计算出j的最大值*)
   
4. aa=Flatten[#,1]&@Table[Sort@{(i*j),(i^2-j^2)/2,(i^2+j^2)/2},(*生成勾股数组,并排序*)
   
5.                        {j,1,jmax,2},(*指定j的范围*)
   
6.                        {i,Select[Range[j+2,Sqrt[2*max-j^2],2],GCD[j,#]==1&]}(*指定i的范围*)
   
7.                       ];
   
8. bb=SortBy[aa,Last];(*按照第三列升序排列,SortBy排序比Sort快很多,原因不知道*)
   
9. cc=Append[#,Total[(If[PrimeQ[#],1,0]&)/@#]]&/@bb;(*添加第四列,第四列为素数个数*)
   
10. dd=Select[cc,#[[4]]>=2&](*选择素数个数>=2的*)
    

复制代码

输出结果

1. {{3,4,5,2},{5,12,13,2},{11,60,61,2},{19,180,181,2},{29,420,421,2},{59,1740,1741,2},{61,1860,1861,2},{71,2520,2521,2},{79,3120,3121,2},{101,5100,5101,2},{131,8580,8581,2},{139,9660,9661,2},{181,16380,16381,2},{199,19800,19801,2},{271,36720,36721,2},{349,60900,60901,2},{379,71820,71821,2},{409,83640,83641,2},{449,100800,100801,2},{461,106260,106261,2},{521,135720,135721,2},{569,161880,161881,2},{571,163020,163021,2},{631,199080,199081,2},{641,205440,205441,2},{661,218460,218461,2},{739,273060,273061,2},{751,282000,282001,2},{821,337020,337021,2},{881,388080,388081,2},{929,431520,431521,2},{991,491040,491041,2},{1031,531480,531481,2},{1039,539760,539761,2},{1051,552300,552301,2},{1069,571380,571381,2},{1091,595140,595141,2},{1129,637320,637321,2},{1151,662400,662401,2},{1171,685620,685621,2},{1181,697380,697381,2},{1361,926160,926161,2},{1439,1035360,1035361,2},{1459,1064340,1064341,2},{1489,1108560,1108561,2},{1499,1123500,1123501,2},{1531,1171980,1171981,2},{1709,1460340,1460341,2},{1741,1515540,1515541,2},{1811,1639860,1639861,2},{1831,1676280,1676281,2},{1901,1806900,1806901,2},{1949,1899300,1899301,2}}

复制代码

按照这个输出结果，似乎(a,b,c)中，b+1=c，似乎只能这个情况！但是我还是没办法证明！

northwolves

至少有一个偶数

nyy

m^2-n^2=p1=a
m^2+n^2=p2=c
如何证明b=m^2+n^2-1呢？

由于
m^2-n^2=p1=a 是素数，那么a=(m+n)(m-n)因此m-n=1
则c=(n+1)^2+n^2

b^2=((n+1)^2+n^2)^2-(n+1+n)^2
这样就证明了想要的

nyy

{{16,63,65},{33,56,65},{36,77,85},{44,117,125},{24,143,145},{119,120,169},{57,176,185},{104,153,185},{84,187,205},{133,156,205},{21,220,221},{140,171,221},{96,247,265},{161,240,289},{136,273,305},{207,224,305},{36,323,325},{204,253,325},{27,364,365},{76,357,365},{135,352,377},{152,345,377},{87,416,425},{297,304,425},{84,437,445},{203,396,445},{319,360,481},{44,483,485},{93,476,485},{132,475,493},{155,468,493},{217,456,505},{336,377,505},{92,525,533},{308,435,533},{33,544,545},{184,513,545},{276,493,565},{396,403,565},{336,527,625},{100,621,629},{429,460,629},{156,667,685},{111,680,689},{400,561,689},{185,672,697},{455,528,697},{333,644,725},{364,627,725},{216,713,745},{407,624,745},{56,783,785},{273,736,785},{168,775,793},{432,665,793},{116,837,845},{123,836,845},{287,816,865},{504,703,865},{60,899,901},{451,780,901},{464,777,905},{616,663,905},{533,756,925},{301,900,949},{420,851,949},{124,957,965},{387,884,965},{473,864,985},{696,697,985}}

三个都是合数的勾股数组

无心人

考虑过a, b, c都是高斯整数的情况嘛？这种情况下，是不是可以a, b, c都是素数

无心人

发现高斯整数里也不可能出现满足a^2 + b^2 = c^2 的都是素数的情况
因为假设 na = norm(a), nb = norm(b), nc = norm(c)
na, nb, nc必然都是平方数，也满足勾股定理的等式

lihpb00

这不是挺简单的吗

yuange1975

lihpb00 发表于 2023-12-13 21:48
这不是挺简单的吗

水平太差还到处评别人为民科。一眼的结果，还难题征解。

lihpb00

yuange1975 发表于 2023-12-14 10:11
水平太差还到处评别人为民科。一眼的结果，还难题征解。

https://bbs.emath.ac.cn/thread-19204-1-1.html

那你来帮我看看这个，应该很简单的，只是我不会