费马大定理n=3的简明证明有吗？

nyy

初等数论上也有n=3的证明，但是有什么好的证明（简单、容易理解、容易记住）

nyy

https://math.stackexchange.com/q ... tions-a-short-proof

这儿有个证明，但是这个证明我适应不了。反正我是想不出来，也记不住

nyy

https://math.stackexchange.com/a/1551982

这儿也有个证明

nyy

nyy 发表于 2023-12-15 12:51
https://math.stackexchange.com/a/1551982

这儿也有个证明

这个证明似乎好点，但是我还是不太理解

nyy

以下是用理想数证明费马大定理n = 3的大致思路：

1. 预备知识

- 在整数环\mathbb{Z}中研究方程x^{3}+y^{3}=z^{3}，可等价于研究x^{3}+y^{3}+z^{3}=0的非零整数解情况（若(x,y,z)是x^{3}+y^{3}=z^{3}的解，则(x,y, - z)是x^{3}+y^{3}+z^{3}=0的解），且可设\gcd(x,y,z)=1。
- 引入分圆整数环，考虑三次单位根\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}，其满足\omega^{2}+\omega + 1 = 0，\omega^{3}=1。在分圆整数环\mathbb{Z}[\omega]中，x^{3}+y^{3}=(x + y)(x + \omega y)(x + \omega^{2}y)。

2. 理想数相关概念及性质应用

- 理想数的定义与基本性质：理想数是数域中理想的一种推广概念（在\mathbb{Z}[\omega]这种数环中可定义理想）。对于\mathbb{Z}[\omega]中的元素\alpha,\beta等，由它们生成的理想(\alpha,\beta)=\{m\alpha + n\beta:m,n\in\mathbb{Z}[\omega]\}等。理想数有乘法运算，且理想数的唯一分解定理在一定条件下成立（不同于一般整数环中元素的唯一分解，是理想层面的唯一分解）。
- 分析(x + y)(x + \omega y)(x + \omega^{2}y)对应的理想：
- 可以证明x + y，x + \omega y，x + \omega^{2}y在\mathbb{Z}[\omega]中生成的理想之间的关系。它们的最大公因数理想（即由它们的最大公因数生成的理想，这里的最大公因数是在理想意义下）要么是单位理想（相当于最大公因数为1在理想层面的表述），要么是由(1 - \omega)生成的理想(1 - \omega)（(1 - \omega)是\mathbb{Z}[\omega]中的一个非平凡理想）。而(1 - \omega)^{2}=-3\omega，从理想角度看，(3)=(1 - \omega)^{2}( \omega)（这里(3)是由3生成的理想在\mathbb{Z}[\omega]中的理想分解形式）。
- 因为方程x^{3}+y^{3}+z^{3}=0，所以(x + y)(x + \omega y)(x + \omega^{2}y)=(-z)^{3}。从理想数角度看，等式左边三个理想的乘积等于右边(-z)^{3}生成的理想(-z)^{3}=(-1)^{3}(z)^{3}（这里(z)是由z生成的理想）。
- 由于理想数的唯一分解性质（在\mathbb{Z}[\omega]的理想数理论中），如果三个理想(x + y)，(x + \omega y)，(x + \omega^{2}y)两两互素（在理想意义下互素，即它们的最大公因数理想是单位理想），那么每个理想都是某个理想的三次方（因为它们的乘积是一个理想的三次方(z)^{3}）。
- 无穷递降法的理想数实现：
假设方程x^{3}+y^{3}+z^{3}=0有非零整数解(x,y,z)且\gcd(x,y,z)=1。
- 若(x + y)，(x + \omega y)，(x + \omega^{2}y)两两互素（理想意义下），设(x + y)=(a)^{3}，(x + \omega y)=(b)^{3}，(x + \omega^{2}y)=(c)^{3}（a,b,c是\mathbb{Z}[\omega]中的理想或理想数）。通过一系列基于\mathbb{Z}[\omega]的运算和数论性质（包括对理想的加法、乘法运算以及元素之间的关系等），可以构造出一组新的整数解(x',y',z')，使得|x'y'z'|\lt|xyz|（这里的绝对值是某种衡量整数大小的方式，在数论中可以定义合适的范数来衡量\mathbb{Z}[\omega]中元素或理想对应的“大小”，比如对于\alpha=a + b\omega\in\mathbb{Z}[\omega]，定义范数N(\alpha)=(a + b\omega)(a + b\omega^{2})=a^{2}-ab + b^{2}，理想的范数可通过其生成元的范数等方式定义和推导相关性质）。
- 若(x + y)，(x + \omega y)，(x + \omega^{2}y)不两两互素，即它们的最大公因数理想是(1 - \omega)，通过适当的变换和理想数运算，同样可以构造出一组新的整数解(x',y',z')，满足|x'y'z'|\lt|xyz|。
- 重复这个过程，会得到一个无穷递减的正整数（关于解的某种衡量指标，如上述范数相关的量）序列，但正整数不能无限递减，从而产生矛盾。

3. 结论

所以假设不成立，即方程x^{3}+y^{3}=z^{3}没有非零整数解，完成了费马大定理n = 3时的证明。

完整详细的证明涉及到较多代数数论中关于分圆整数环、理想数、范数等复杂的概念和性质以及精细的推导，上述只是一个简要的证明思路框架。

nyy

上面是人工智能生成的，
谁能用你理想数证明给我看