可乘函数一问

wsc810

若函数f(a*b)=f(a)*f(b)，则称为可乘函数，也叫积性函数。除了幂函数外，是否有其它简单的函数有此性质，或者在某些有理点上满足此性质。希望举出一例。

mathe

满足这个条件的函数没什么意思。连续的话只有指数函数了。如果限定有理数域，只要指定所有素数的取值，整个函数取值也就指定了。
数学中的数论函数比较有意思，同这类函数有点类似。
数论函数的定义域是整数，而且满足对于任意$(m,n)=1,f(m*n)=f(m)f(n)$

gxqcn

mathe 说错了，应该是“幂函数”，而非“指数函数”，后者不具备可乘性。

【幂函数】：形如y=x^a(a为常数）的函数，[即以底数为自变量指数为常量的函数称为幂函数。]
【指数函数】：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)

wayne

定义域很重要

如果连续且可导的话，只有幂函数满足条件。

否则，就不好说了，不过欧拉函数有一个性质：
正整数m,n,$(m,n)=1,f(m*n)=f(m)f(n)$

mathe

是的，欧拉函数是一个重要的数论函数

wayne

5# mathe
数论函数？
呵呵，学习了

wayne

5# mathe


如果任意正整数m,n不论它们互质与否，都满足f(m*n)=f(m)f(n)，那这样的数论函数存在吗，
怎么求p为素数的情况f(p)的值?

mathe

数论函数是解析数论里面非常重要的内容,比如墨比乌斯函数也是一个例子。
当然常数函数f(n)=1也是数论函数
数论函数最好的性质是
$sum_{n=1}^{infty}{f(n)}/{n^s}=prod_{"prime p"}[1+f(p)p^{-s}+f(p^2)p^{-2s}+...]$
http://mathworld.wolfram.com/Mul ... oreticFunction.html

wsc810

我的想法是利用此函数的性质做大合数分解，即求出f(D)的值（D为待要分解的大合数）再将此值利用某种方法分解为两个数的值，然后令它为f(a)或f(b),最后求逆，得到它的两个因子a,b