凸五边形密铺求角

hejoseph

如下图 1 的凸五边形 $ABCDE$ 中 $AB=a$，$BC=EA=1$，$CD=DE=2$，$∠A=90°$，$2∠B+∠C=360°$，$∠C+∠E=180°$。
如图 1 的六个全等凸五边形按图 2 的方式拼接后作为密铺单元，图 3 利用图 2 的密铺单元铺满的平面。
求凸五边形 $ABCDE$ 的各个内角以及 $a$。

图1

图2

图3

王守恩

设∠ABE=x,  ∠C=4C,  解方程我的电脑不行。

1. NSolve[{2/Sin[Pi/4-C]==CE/Cos[2C],CE/Sin[2C+x]==1/Sin[Pi/4-3C+x]==(1/Sin[x])/Sin[5C-Pi/4],1/Sin[x]==AB/Cos[x],1>x>0,1>C>0,CE>0},{x,C,CE,AB}]

复制代码

{{x -> 0.355467, C -> 0.30248, CE -> 3.54257, AB -> 2.6937}}

Jack315

将凸五边形ABCDE置于矩形AFGH中，如下图所示：

标记各角 \(α=∠CBH,β=∠BCD=∠DEF,θ=∠CDG=β-α\), (注：\(∠C+∠E=180°→∠DEF=∠C\) )
由 \(2∠B+∠C=360°\) →\(β=2α, ∴θ=α\)

由 \(AF=GH\) → \(\sinα=\frac{\sqrt{57}-3}{8}\) 。
凸五边形的内角分别为：
\(∠A=90°, ∠B=145.338°, ∠C=69.3233°, ∠D=124.662°, ∠E=110.677°\)。

由 \(AH=FG\) →\(a=2\sin β+\cos α=2.6937\) 。

hujunhua

存在密铺单元，就说明不是彭罗期密铺。
图3包含了6种方向的五边形，每种方向的五边形都是规则地二维展开的，所以每种方向随便选一个代表所组成的代表团都能构成密铺单元。
比如下图涂色部分就是一个不同于图2的密铺单元，它是中心对称的。

不排斥非连通，就有无穷多种密铺单元。
限于连通的话，密铺单元还是有限的，有多少种呢？
也许还存在与图3不一样的密铺，不知道原文献中有没有讨论相关问题。

hejoseph

hujunhua 发表于 2023-12-19 19:30
存在密铺单元，就说明不是彭罗期密铺。
图3包含了6种方向的五边形，每种方向的五边形都是规则地二维展开的 ...

王守恩

Jack315 发表于 2023-12-18 22:31
将凸五边形ABCDE置于矩形AFGH中，如下图所示：

标记各角 \(α=∠CBH,β=∠BCD=∠DEF,θ=∠CDG=β-α\), ( ...

谢谢 Jack315 !   弱弱的问:  这凸五边形能切割拼成矩形吗(面积不变)?
a=∠CBH,BH=cos(a),HC=sin(a),CG=2sin(a),GD=2cos(a),DF=2sin(2a),FE=2cos(2a),EA=1,AB=2sin(2a)-cos(a),

Jack315

王守恩 发表于 2023-12-22 19:47
谢谢 Jack315 !   弱弱的问:  这凸五边形能切割拼成矩形吗(面积不变)?
a=∠CBH,BH=cos(a),HC=sin(a),CG=2s ...

将整个平面铺满，然后以任意（大于 0 的）长、宽切出一个矩形，只要面积与这个凸五边形相同就成，这个问题的答案就显而易见了。

只是这类问题有什么意义呢？

LZ思考的问题至少可以用来做墙纸，而最基本的单元是“不规则的”五边形，而不是常见的、对称性很好的四边形、菱形……等。

hejoseph

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2024-1-5 16:46 上传

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ejsoon

hejoseph 发表于 2024-1-5 16:46
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請問這個是密鋪單元嗎？

$4·8^2$又是何義？

风云剑

一个正4边形+2个正8边形的意思。