正方体和球的相交体积的计算

DyannaMenphina

正方体边长为L，有一个球体半径为R，2R＜L（也就是球体较小，最多和正方体的3面相交）
当球体和正方体相交时，到3个面的垂直距离分别是Dx,Dy,Dz
那么相交部分的体积的解析解是什么？

目前的进度：
考虑到3个临界条件：
A 球体超出了某一个面的条件 D_(x,y,z)<R
B 球体超出了某一条棱的条件√(D_i^2+D_j^2 )<R
C 球体超出了某一个顶点的条件 √(D_x^2+D_y^2+D_z^2 )<R

C真时，相交部分是3个球冠互相叠加的体积（待解决）
C假B真时，相交部分是2个球冠相互叠加的体积+剩下一个方向上超出的0~1个的球冠的体积（待解决）
C假B假A真时，1~3个球冠的体积（已解决）
C假B假A假时，球在正方体内部，相交体积就是球本身的体积（已解决）

球冠体积是1/3 *pi*(R-D)^2*(2R+D)、

问题是球冠相交的体积应该怎么求？