E 在正方形 ABCD 边 BC 延长线上，BF⊥ED，AE交CD于G，FG交BC于H。求证：H 是 BE 中点

uk702

如图，正方形 ABCD ，E 是边 BC 延长线上的一点，BF⊥ED 于 F，AE 交 CD 于G，FG 交 BC 于 H。
求证：H是BE的中点。（求射影几何证法）


现将此题改写为射影几何形式如下：
A、B、C、D、F 是椭圆（圆锥曲线）上的 5 个点，DF 交 BC 于 E，AE 交 CD 于 G，FG 交 BC 于 H，AD 交 BC 于 N，
求证：若A(AC, BD) 成调和线束，则 (BE, HN) 成调和点列？

uk702

如图，假设 BF 交 AE 于J， HJ 交 CD 于 K，KB 交 AE 于 I。易知若 H 是 BE 的中点，当且仅当 IF//BE 。

于是问题就变成：
已知正方形 ABCD，E 是 BC 上的一点，AE 交 CD 于 G，BF⊥ED 于 F，FG 交 BC 于 H，AE 交 BF 于 J，HJ 交 CD 于 K，KB 交AE 于 I。
求证： IF//BC。

uk702

现考虑将一个仿射变换作用到 #2 的正方形ABCD，我们知道，总存在一个仿射变换使得正方形 ABCD 变成任意平行四边形 ABCD。当 正方形 ABCD 变成任意 平行四边形 ABCD 后，E 点显然还是 BC 上的任意点，现在的问题是（唯一的问题是），F 点变成了什么点？其实不难，我们还知道，仿射变换将相似的三角形依然变换成相似三角形。由于 △DCE∽△BFE，由于 ∠FEB 是公共角，由此推出，仿射变换后的 F 点，依然要满足 ∠CDE=∠FBE ，显然，对于指定的任意平行四边形 ABCD 和 BC  （延长线）上的点 E， 只有唯一的一个 F 满足 ∠CDE=∠FBE。

于是题目就变成：
已知平行四边形 ABCD， E 为 BC （延长线）上的一点， F 是 DE 上的一点且满足 ∠FBE=∠CDE，
AE 交 CD 于 G，FG 交 BC 于 H，AE 交 BF 于 J，HJ 交 CD 于 K，KB 交 AE 于 I。
求证：IF//BC 。

但实际作图发现 IF 并不能（总是）满足 IF//BC （当然实际作图发现这时 H 根本也不是 BE 的中点）。问题究竟出在那里（看来有一些最基础的数学概念从头到尾就搞错了）？

aimisiyou

建系不要太简单。

uk702

#3 的补充。

问题一：已知正方形ABCD 和（任意）平行四边形A'B'C'D'，总存在一个仿射变换，将 正方形ABCD 变换成 平行四边形A'B'C'D'；
正确。

问题二：相似的两个三角形，经过仿射变换后，依然是保持相似；
错，见所示图。

问题三：如图，E 是正方形ABCD 边 BC 延长线上的一点，F 是 ED 上的一点且满足 BF⊥ED ，当某个仿射变换将正方形 ABCD 变成 平行四边形 A'B'C'D' 时，如何确定 F 的对应点？
见所示图。

问题四：N 边形的面积 \( S_N \)，M 边形的面积 \( S_M \)，则 \( \frac{S_N}{S_M} \) 在仿射变换后保持不变。
正确。