如何用一个根来表达另外的根？

nyy

比如方程Solve[x^5 - x - 1 == 0, x]有五个根，依次是

{{x -> Root[-1 - #1 + #1^5 &, 1]}, {x ->
   Root[-1 - #1 + #1^5 &, 2]}, {x -> Root[-1 - #1 + #1^5 &, 3]}, {x ->
    Root[-1 - #1 + #1^5 &, 4]}, {x -> Root[-1 - #1 + #1^5 &, 5]}}

假设5个根是x1、x2、x3、x4、x5，
如何用x1来表达x2、x3、x4、x5呢？

northwolves

\[x_k=\left(\frac{x_k}{x_1}\right)*x_1,k \in [2,5]\]

northwolves

northwolves 发表于 2024-1-12 23:06
\[x_k=\left(\frac{x_k}{x_1}\right)*x_1,k \in [2,5]\]

1. x[k_]:=RootReduce[Root[-1-#1+#1^5&,k]/Root[-1-#1+#1^5&,1]] *x1;Table[x[k],{k,2,5}]

复制代码

{x1 -0.655\[Ellipsis]-0.302\[Ellipsis] I,x1 -0.655\[Ellipsis]+0.302\[Ellipsis] I,x1 0.155\[Ellipsis]-0.929\[Ellipsis] I,x1 0.155\[Ellipsis]+0.929\[Ellipsis] I}

northwolves

$x_2=x1( -0.655-0.302i), x_3=x1( -0.655+0.302i),x_4=x1( 0.155-0.929i),x_5=x1( 0.155+0.929i)$

northwolves

设$x_1=t$
$x^5 - x - 1 =0\rightarrow 1=t^5- t \rightarrow  x^5-x-1=\left(t^4+t^3 x+t^2 x^2+t x^3+x^4-1\right) (x-t)$

1. Solve[-1 + t^4 + t^3 x + t^2 x^2 + t x^3 + x^4 == 0, x]

复制代码

求解即可

northwolves

你后面的因式分解怎么得到的？

$\text{PolynomialQuotient}[x^5 - x - 1, x - t, x]$