四点形对称不等式

dlsh

如果A、B、C和D在同一平面内，有下面不等式：
托勒密不等式：\(AB·CD+AD·BC>=AC·BD\)
\(\D\frac{BC}{AD}+\frac{CA}{BD}+\frac{AB}{CD}>=\frac{BC}{AD}\frac{CA}{BD}\frac{AB}{CD}\)
\(\D\frac{AD^2}{AB·AC}+\frac{BD^2}{AB·BC}+\frac{CD^2}{AC·BC}>=1\)
如果A、B、C和D不在一个平面内呢？

hujunhua

在同一个平面内，都可以用通过复数运算，应用三角形不等式简单证明。运用的是复数的关键性质`|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|`

但在空间中，没有类似的三维复数，意义不明，难以成立。

mathe

空间情况可以用平面情况轻松推理。
如果ABCD是空间四边形，我们保持AB,BC,BD,CD,AD五条边长度不变，拉长AC到最长使得A点移动到BCD平面。这个变换过程仅AC长度变长，而变换后还满足托勒密不等式，说明不共面时也满足，而且严格不等

dlsh

假设P和Q在ABC平面内，下面结论是主贴第三条更一般的结论，可以扩展到空间吗
\(\frac{PAQA}{BACA}+\frac{PBQB}{ABCB}+\frac{PCQC}{BCAC}\)＞＝1