圆的折叠

王广喜

这是西安交大少年班数学试题的最后一题，大家看看是否有巧妙的办法。

aimisiyou

$$\frac{2·\sqrt{14}}{7}$$

王广喜

aimisiyou 发表于 2024-1-16 21:02
$$\frac{2·\sqrt{14}}{7}$$

求过程

Jack315

如图所示：半圆圆心位于坐标原点，不妨令半径为 \(1\) ，记\(∠ABC=α\) 。
三角形边 BC 的方程为：\(y=(1-x) \tan α\) 。

\(ΔO_1BH≌ΔO_2BH\) →\(O_1O_2=2\sin α\) 。
\(∠O_1O_2G=α\) ，\(O_2\) 的坐标：\(x=2\sin^2 α\) ，\(y=2r \sin α \cos α\) 。

\(O_3\) 的坐标：\(x=2\sin^2 α\)，\(y=-2\sin α \cos α\) 。
相应的圆方程为：\((x-2\sin^2 α)^2+(y+2 \sin \alpha \cos \alpha)^2=1\) 。
与 BC 边方程联立求得 \(E\) 点坐标：
\(x=1-\cos(2α)-cos(4α)\) ，
\(y=\tan α[\cos(2α)+cos(4α)]\) 。

按题意有 \(BC=2BE\) 。
\(2\cosα=2EF\cscα=2\tanα[\cos(2α)+cos(4α)]\csc α\)
解此方程得：\(\cos^2 α=\frac{7}{8}\) 。

答案：\(\frac{AB}{BC}=\sec α=\sqrt{\frac{8}{7}}\) 。

hujunhua

如图，作 C 关于AB的镜像点C'，作等腰三角形BCC’。
由于弧AC、弧CD、弧DE等曲又对等角，所以都是等弧。相应的镜像也都是等弧。
由等弧对等弦得CC'=C'E，所以 等腰三角形ΔBCC'∽ΔC'CE，
故而`BC=\sqrt2CC'`, 可得`AB=2\sqrt2AC`, 所以`\D AB=\frac{2\sqrt2}{\sqrt7}BC`

王广喜

hujunhua 发表于 2024-1-18 00:15
如图，作 C 关于AB的镜像点C'，作等腰三角形BCC’。
由于弧AC、弧CD、弧DE等曲又对等角，所以都是等弧。相 ...

醍醐灌顶，高手啊

王守恩

解读3楼(1楼的图)。∠ABC=B, AB=2

AC=CD=DE=2sin(B),BE=CE=cos(B),AD=(2sin(B))^2,BD=2-AD=2cos(2B)

\(\D\frac{AB}{BC}=\frac{2}{2\cos(B)}=\frac{2\sin(B)/\sin(B)}{2\cos(B)}=\frac{\cos(B)/\cos(3B)}{2\cos(B)}=\frac{1}{2\cos(3B)}\)

王守恩

当然，你要避开3B也是可以的(找三角形CDE)。

\(\D\frac{AB}{BC}=\frac{2}{2\cos(B)}\ \ \ \ \ \frac{2\sin(B)}{\cos(2B)}=\frac{\cos(B)}{\sin(4B)}\)

王守恩

就个人感情，我钟意"万能"公式(简单,有效)。

\(\D1=\frac{\sin(∠EDC)*CD*BE}{\sin(∠EDB)*BD*CE}=\frac{\sin(4B)*2\sin(B)*\cos(B)}{\cos(3B)*2\cos(2B)*\cos(B)}\)

王守恩

三角形BDE面积 = 三角形CDE面积。

\(\D\frac{2\cos(2B)*\cos(B)*\sin(B)}{2}=\frac{2\sin(B)*2\sin(B)*\sin(4B)}{2}\)