正六边形,有几种走法？

王守恩

在如图所示的正六边形网格上，从中心点O出发, 又回到O(允许中途经过O),  走了 n 条路段, 求可能的路径总数a(n)。
显然，a(1)=0，a(2)=6, a(3)=12（6个三角形，双向）。

aimisiyou

象棋中马初始位置位于老帅的位置，求跳N步回到初始位置的方法数？

王守恩

如果主帖=3环, 则1环是这样一串数: 0, 6, 12, 60, 192, 744, 2640, 9744, 35328, 129120, 470208, 1715136, ...

northwolves

王守恩 发表于 2024-1-19 10:59
如果主帖=3环, 则1环是这样一串数: 0, 6, 12, 60, 192, 744, 2640, 9744, 35328, 129120, 470208, 1715136, ...

$a_n=\frac{3 \left(\left(\sqrt{7}+1\right)^{n-1}-\left(1-\sqrt{7}\right)^{n-1}\right)}{\sqrt{7}}$

王守恩

如果主帖=3环, 则1环是这样一串数:
0, 6, 12, 60, 192, 744, 2640, 9744, 35328, 129120, 470208, 1715136, ...
谢谢 northwolves！1环这串数没有错, 把1环这串数/6, 得到:
0, 1,  2,  10,  32, 124,  440,  1624,  5888,  21520,   78368,   285856, 1041920, 3798976,...
OEIS--A083099是这样说的:
将边长为1的正六边形的中心与其六个顶点连接起来。a(n)是从中心到其任何顶点的长度为n的路径数。从中心到自身的长度为n的路径数为 6*a(n)。- 宋佳宁, 2019年4月20日
主帖意图明确: 1环,  2环,  3环,  ....
1环是这样一串数: 0, 6, 12, 60, 192,  744,  2640, 9744,
2环是这样一串数: 0, 6, 12, 78, 360, 1410, 5988,
3环是这样一串数: 0, 6, 12, 78, 360, 1440,
...
OEIS没有这些数字串, 难也就难在OEIS没有这些数字串。谢谢各位网友！
闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。

王守恩

无限环是这样一串数？
{0, 6, 12, 90, 360, 2040, 10080, 54810, 290640, 1588356, 8676360, 47977776, 266378112, 1488801600, 8355739392, 47104393050,
266482019232, 1512589408044, 8610448069080,  49144928795820, 281164160225520, 1612061452900080, 9261029179733760}
\(\D b(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\frac{(i!)^2(-2)^{n-i}n!}{(j!)^3((i-j)!)^3(n-i)!}\)

1. 6RecurrenceTable[{36(1+n)(2+n)b[n]+24(2+n)^2b[1+n]+(2+n)(3+n)b[2+n]==(3+n)^2b[3+n],b[1]==0,b[2]==1,b[3]==2},b,{n,23}]

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王守恩

这串数很是怪怪的, 后面数字大的数字串可以有, 前面数字小的数字串反倒不好找。取1/6。
1环:  0, 1, 2, 10, 32, 124, 0440, 1624, 05888, 021520, 0078368,  0285856, 01041920, 003798976,
2环:  0, 1, 2, 15, 60, 321,
3环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9094，
4环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9135, 48440,
5环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9135, 48440, 264726, 1446060,
6环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9135, 48440, 264726, 1446060, 7996296, 44396352,
7环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9135, 48440, 264726, 1446060, 7996296, 44396352, 248133600,
8环:  0, 1, 2, 15, 60, 340, 1680, 9135, 48440, 264726, 1446060, 7996296, 44396352, 248133600,
......

王守恩

aimisiyou 发表于 2024-1-19 08:29
象棋中马初始位置位于老帅的位置，求跳N步回到初始位置的方法数？

aimisiyou网友！2环是这样一串数，能验算一下(前面10个数)？谢谢！
0, 1, 2, 15, 60, 321, 1302, 3983, 9976, 21681, 42442, 76703, 130164, 209937, 324702, 484863,

王守恩

这题目才叫 "难"！把 "杨辉三角" 用到了极致。欢迎各位大侠援手！

S(2,4)只有唯一走法: 01210,
S(2,4)=S(1,4)+5,
1*(1+1)+1*1+1*(1+1)=5,

S(3,6)只有唯一走法: 0123210,
S(3,6)=S(2,6)+19,
1*(1+2)+2*(2+1)+1*1+2*(1+2)+1*(2+1)=19,

S(4,8)只有唯一走法: 012343210,
S(4,8)=S(3,8)+69,
1*(1+3)+3*(3+3)+3*(3+1)+1*1+3*(1+3)+3*(3+3)+1*(3+1)=69,

S(5,10)只有唯一走法: 01234543210,
S(5,10)=S(4,10)+251,
1*(1+4)+4*(4+6)+6*(6+4)+4*(4+1)+1*1+4*(1+4)+6*(4+6)+4*(6+4)+1*(4+1)=251,

S(6,12)只有唯一走法: 0123456543210,
S(6,12)=S(5,12)+923,
(1*(1+5)+5*(5+10)+10*(10+10)+10*(10+5)+5*(5+1))*2+1*1=923,

S(7,14)只有唯一走法: 012345676543210,
S(7,14)=S(6,14)+3431,
(1*(1+6)+6*(6+15)+15*(15+20)+20*(20+15)+15*(15+6)+6*(6+1))*2+1*1=3431,

S(8,16)只有唯一走法: 01234567876543210,
S(8,16)=S(7,16)+12869,
(1*(1+7)+7*(7+21)+21*(21+35)+35*(35+35)+35*(35+21)+21*(21+7)+7*(7+1))*2+1*1=12869,
......
得到一串数: 1, 5, 19, 69, 251, 923, 3431, 12869, 48619, 184755, 705431, 2704155, 10400599, ......

1. Table[Sum[Sum[(2 n - i - j)!/(n - i)!/(n - j)!, {i,1,n}], {j,1,n}],{n,1,20}]

复制代码

注:*前面的数=来的路，*后面的数=回的路。

王守恩

晒一晒主帖。我还是无法解决, 求助各位大神！ 谢谢！
在如图所示的正六边形网格上，从中心点O出发, 又回到O(允许中途经过O),  走了 n 条路段, 求可能的路径总数a(n)。
显然，a(1)=0, a(2)=6, a(3)=12, a(4)=90, a(5)=360, a(6)=2040, a(7)=10080, a(8)=54564?(后面几项很可能是错的)。
图在主帖, 求助各位大神！ 谢谢！