是否任一数字串都可以同时作为 2^n 和 5^n 的公共头部？

uk702

我们知道，任一数字串，比如  123，总存在 $n$，使得 $2^n$ 以该数字串打头，对于 123 而言，有 $2^{90}=1237940039285380274899124224$ 以 123 打头。
同样，对于任一数字串，总存在 $m$，使得 $5^m$ 以该数字串打头，对于 123 而言，有 $ 5^{106}=123259516440783094595582588325435348386438505485784844495356082916259765625$ 以 123 打头。

那么，对于任一数字串，比如 33，是否存在 $n$，使得 $2^n$ 和  $5^n$ 同时以该数字串打头？

特别地，求最小的 $n$，使得  $2^n$ 和  $5^n$ 具有公共头串，且这个头串不是以 3 打头。
计算表明，在 1~10^7 之间，所有使得  $2^n$ 和  $5^n$ 具有公共头串的 $n$，$2^n$ 都是以 3  打头。

nyy

老同志，不要问这类问题，这类问题，没人能回答！

nyy

数论的问题，随随便便，就能出个大难题！论坛上没人能回答你，即使有人能回答上来，也不会有人闲的来逛论坛。
真正的学者，每天都忙着思考自己的问题，哪有闲时间来逛论坛

uk702

明白了，其实很容易证明 2^n 和 5^n 公共头串必定是 3 打头。

原因是， 2^n * 5^n = 10^n，也就是说， n lg2 = n - n lg5，而 2^n 和 5^n 有公共头串，
∴  n lg2 的小数部分 ≈ n lg5 的小数部分 ≈ 0.5，而 lg(x) = 0.5 意味着 x = 3...，也就是必须以 3 打头。

uk702

如果问题改成是否任何一个数字串都能作为 2^n 和 7^n 的公共头串？可能这是一个真正难题。

uk702

记得好像存在这样一个定理，若 $\alpha$ 是一个超越数，则存在 $\lambda > 0$ 及无数个整数 $p, q$，使得 $|\alpha - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{2+\lambda}}$，

基于这个定理（？），可证如下（这个证明似乎没错）