如何證明G點是圓的中點？

ejsoon

來自這裏。

mathe

以A为反演中心，圆2为反演圆做反演。
于是圆3圆4分别反演为AB,AC中垂线。于是两圆交点D为反演为三角形ABC外心G，圆5反演为AG中垂线EF.
由此证明EF在AG中垂线上，所以圆6圆7交于G。

ejsoon

mathe 发表于 2024-1-29 16:47
以A为反演中心，圆2为反演圆做反演。
于是圆3圆4分别反演为AB,AC中垂线。于是两圆交点D为反演为三角形ABC外 ...

看起來是個不錯的證明，不過我對「反演」暫時沒有研究，所以需要一點時間來研究和思考……

mathe

本题中用到比较特殊的反演，就是反演中心在一个圆上时，这个圆会被反演成一条直线，而且这条直线和反演中心所在直径垂直。
这个性质很容易证明：

如上图，A为反演中心，P为圆上动点，要求在射线AP上取点Q使得$AP\times AQ=AB^2$, 那么显然Q点轨迹是过B点的切线。
而如果这个常数$AB^2$改为其它值，那么Q点轨迹就会变成和过B点切线平行的一条直线。
利用这个性质，就可解决本题中问题了

ejsoon

mathe 发表于 2024-1-29 21:31
本题中用到比较特殊的反演，就是反演中心在一个圆上时，这个圆会被反演成一条直线，而且这条直线和反演中心 ...

我需要思考一下…

如果$AB^2$改成其它常數，反演會得到一條與BQ平行的直線？

ejsoon

mathe 发表于 2024-1-29 21:31
本题中用到比较特殊的反演，就是反演中心在一个圆上时，这个圆会被反演成一条直线，而且这条直线和反演中心 ...

可否理解為：對另一個「圓心落在AB上且過點A」的圓，以點A為反演中心進行反演，則會得到一條與BQ平行的直線？

mathe

是的，另外再利用反演公式中常数，很容易算出直线到A的距离，也就是确定了其位置

ejsoon

mathe 发表于 2024-1-29 16:47
以A为反演中心，圆2为反演圆做反演。
于是圆3圆4分别反演为AB,AC中垂线。于是两圆交点D为反演为三角形ABC外 ...

以A为反演中心，圆2为反演圆做反演。
于是圆3圆4分别反演为AB,AC中垂线。

搞不懂何為「反演圓」。我只知道對某一點反演，圓能變成直線。

如果圓3、圓4以A為反演中心進行反演，那不是應該成為一條切線？

ejsoon

可否解釋一下「以A为反演中心，圆2为反演圆做反演」中的「反演圓」？

我只知道以一點為中心進行反演，暫時不能理解以一個點和一個圓來反演。