求助一道高一的数学试题

KeyTo9_Fans

已知函数$f(x)=\log_a(x+1)$（$a>0$且$a\ne 1$）的图像过点$(-1/2,-1)$，$m\in N^{**}$

若存在$k\in (0,2)$，使得不等式$f(|\frac{kx}{2}-\frac{1}{x}-1|)<f(\frac{2-k}{x})$对任意$x\in [m,8]$恒成立，求$m$的最小值。

mathe

前面条件告诉我们a=2,所以f是单调增函数，所以要求
\(|\frac{kx}2-\frac1x-1|\lt \frac{2-k}x\)
注意到题目中要求$m\gt 0$,所以x总是正数，于是不等式可以改为
\(|\frac{kx^2}2-x-1|\lt 2-k \), 将\(x=\sqrt{2}\)代入，可以看出不等式总是不成立，所以\(x\gt \sqrt{2}\)
由于不等式必须对于x=8成立，将x=8代入，得到
\(|32k-9|\lt 2-k\)即\(k-2<32k-9<2-k\), 所以得到\(\frac 7{31}\lt k\lt \frac13\)
而对于任意其它满足条件的x必然有\(2k-4<kx^2-2x-2<4-2k\)
即\(\frac{2x-2}{x^2-2}\lt k\lt\frac{2x-6}{x^2+2}\), 合法的x必须使得这个区间和\(\frac 7{31}\lt k\lt \frac13\)相交
所以得到\(\frac{2x-2}{x^2-2}\lt k \lt \frac13\), 其中x=5不满足不等式，由此得到$m\ge 6$
然后取$k=\frac1 4$,可以知道二次函数\(\frac{kx^2}2-x-1\)最小值点在x=4,所以在区间[6,8]函数单调，只需要验证在6,8两个端点都满足不等式即可，可以验证通过。所以最小m为6

wayne

容易得$a=2,x>0$ ,于是就是解$2-k>\frac{k x^2}{2}-x-1>0$. 解得$\frac{2 (x+1)}{x^2}<k<\frac{2 (x+3)}{x^2+2}$,
只需要考虑存在性,存在$k\in (0,2)$, 所以只需要 解$\frac{2 (x+1)}{x^2}<\frac{2 (x+3)}{x^2+2} &&\frac{2 (x+1)}{x^2}<2$, 即得$x>\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)$, 所以$m$最小可以取 2

nyy

为什么你们两个人的答案不一样

markfang2050

（wayne的答案）存在的瑕疵：
１，2(x+1)/x^2<2.等于不能取。否则Ｋ可能在开区间（０，２）无解。
２，遗漏了0<-(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x情况。　2(x-1)/(x^2-2)<ｋ<2(x+1)/x^2;2(x-1)/(x^2-2)<2(x+1)/x^2&&2(x-1)/(x^2-2)<2&&x>sqrt(2);最终解交集是:ｘ>[1+sqrt(5)]/2
1,2两种解恰好是一致的，取并集。[1+sqrt(5)]/2约等于１.６２５；故【ｘ】min=2。即ｍ最小值是２.

markfang2050

Solution：

"N*"通常被理解为表示一个不包括零（即自然数）的集合。这里的"N"代表自然数集，而加上星号(*)则意味着该集合不包含零元素。"N*"可以理解为所有正整数的集合，因为自然数包括正整数和非负整数，所以"N*"是一个包含了所有正整数的集合；

易得a=2;x>=1于是解:

１，0<(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x。　
解得：2(x+3)/(x^2+2)>ｋ>2(x+1)/x^2;
只需要考虑k存在性,存在0<k<2 , 所以只需要解:
2(x+3)/(x^2+2)>2(x+1)/x^2&&2(x+1)/x^2<2,一定存在一个解k且满足0<k<2。
解是:ｘ>[1+sqrt(5)]/2，故【ｘ】min=2。



２，0<-(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x情况。

2(x-1)/(x^2-2)<ｋ<2(x+1)/x^2;
只需要考虑k存在性,存在0<k<2 , 所以只需要解:
2(x-1)/(x^2-2)<2(x+1)/x^2&&2(x-1)/(x^2-2)<2&&x>sqrt(2);
一定存在一个解k且满足0<k<2。
解的交集是:ｘ>[1+sqrt(5)]/2，故【ｘ】min=2。

1,2两种解恰好是一致的，取并集。[1+sqrt(5)]/2约等于１.６２５；
故【ｘ】min=2。即ｍ最小值是２.

nyy

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Reduce[Abs[k*x/2-1/x-1]<(2-k)/x&&0<k<2&&m<=x<=8]
   

复制代码

化简得到
\[\left(0<x<1\land 0<k<\frac{2 x-2}{x^2-2}\land m\leq x\right)\lor \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)<x\leq 8\land \frac{2 x-2}{x^2-2}<k<\frac{2 x+6}{x^2+2}\land m\leq x\right)\]