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[求助] 求助一道高一的数学试题

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发表于 2024-1-29 20:15:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知函数$f(x)=\log_a(x+1)$($a>0$且$a\ne 1$)的图像过点$(-1/2,-1)$,$m\in N^{**}$

若存在$k\in (0,2)$,使得不等式$f(|\frac{kx}{2}-\frac{1}{x}-1|)<f(\frac{2-k}{x})$对任意$x\in [m,8]$恒成立,求$m$的最小值。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-1-29 21:55:11 | 显示全部楼层
前面条件告诉我们a=2,所以f是单调增函数,所以要求
\(|\frac{kx}2-\frac1x-1|\lt \frac{2-k}x\)
注意到题目中要求$m\gt 0$,所以x总是正数,于是不等式可以改为
\(|\frac{kx^2}2-x-1|\lt 2-k \), 将\(x=\sqrt{2}\)代入,可以看出不等式总是不成立,所以\(x\gt \sqrt{2}\)
由于不等式必须对于x=8成立,将x=8代入,得到
\(|32k-9|\lt 2-k\)即\(k-2<32k-9<2-k\), 所以得到\(\frac 7{31}\lt k\lt \frac13\)
而对于任意其它满足条件的x必然有\(2k-4<kx^2-2x-2<4-2k\)
即\(\frac{2x-2}{x^2-2}\lt k\lt\frac{2x-6}{x^2+2}\), 合法的x必须使得这个区间和\(\frac 7{31}\lt k\lt \frac13\)相交
所以得到\(\frac{2x-2}{x^2-2}\lt k \lt \frac13\), 其中x=5不满足不等式,由此得到$m\ge 6$
然后取$k=\frac1 4$,可以知道二次函数\(\frac{kx^2}2-x-1\)最小值点在x=4,所以在区间[6,8]函数单调,只需要验证在6,8两个端点都满足不等式即可,可以验证通过。所以最小m为6

点评

m=3代入可验证是成立的,满足的。  发表于 2024-1-30 23:29
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发表于 2024-1-29 23:21:05 | 显示全部楼层
容易得$a=2,x>0$ ,于是就是解$2-k>\frac{k x^2}{2}-x-1>0$. 解得$\frac{2 (x+1)}{x^2}<k<\frac{2 (x+3)}{x^2+2}$,
只需要考虑存在性,存在$k\in (0,2)$, 所以只需要 解$\frac{2 (x+1)}{x^2}<\frac{2 (x+3)}{x^2+2} &&\frac{2 (x+1)}{x^2}<2$, 即得$x>\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)$, 所以$m$最小可以取 2

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nyy
为什么我解出来的还含有x<=8,而你的不含有!  发表于 2024-2-1 09:11
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发表于 2024-1-30 14:01:28 | 显示全部楼层
为什么你们两个人的答案不一样

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两个人对题目意思的解读不同,所以答案不同。我觉得第2个答案(wayne的答案)是对的。  发表于 2024-1-30 20:02
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发表于 2024-1-31 00:11:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 markfang2050 于 2024-1-31 00:13 编辑

(wayne的答案)存在的瑕疵:
1,2(x+1)/x^2<2.等于不能取。否则K可能在开区间(0,2)无解。
2,遗漏了0<-(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x情况。 2(x-1)/(x^2-2)<k<2(x+1)/x^2;2(x-1)/(x^2-2)<2(x+1)/x^2&&2(x-1)/(x^2-2)<2&&x>sqrt(2);最终解交集是:x>[1+sqrt(5)]/2
1,2两种解恰好是一致的,取并集。[1+sqrt(5)]/2约等于1.625;故【x】min=2。即m最小值是2.
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发表于 2024-1-31 00:29:01 | 显示全部楼层
Solution:

"N*"通常被理解为表示一个不包括零(即自然数)的集合。这里的"N"代表自然数集,而加上星号(*)则意味着该集合不包含零元素。"N*"可以理解为所有正整数的集合,因为自然数包括正整数和非负整数,所以"N*"是一个包含了所有正整数的集合;

易得a=2;x>=1于是解:

1,0<(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x。 
解得:2(x+3)/(x^2+2)>k>2(x+1)/x^2;
只需要考虑k存在性,存在0<k<2 , 所以只需要解:
2(x+3)/(x^2+2)>2(x+1)/x^2&&2(x+1)/x^2<2,一定存在一个解k且满足0<k<2。
解是:x>[1+sqrt(5)]/2,故【x】min=2。



2,0<-(kx/2-1/x-1)<(2-k)/x情况。

2(x-1)/(x^2-2)<k<2(x+1)/x^2;
只需要考虑k存在性,存在0<k<2 , 所以只需要解:
2(x-1)/(x^2-2)<2(x+1)/x^2&&2(x-1)/(x^2-2)<2&&x>sqrt(2);
一定存在一个解k且满足0<k<2。
解的交集是:x>[1+sqrt(5)]/2,故【x】min=2。

1,2两种解恰好是一致的,取并集。[1+sqrt(5)]/2约等于1.625;
故【x】min=2。即m最小值是2.

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nyy
为什么你的化简没x<=8?  发表于 2024-2-1 11:24
nyy
软件是怎么化简的呢?  发表于 2024-2-1 11:24
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发表于 2024-1-31 10:25:22 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. Reduce[Abs[k*x/2-1/x-1]<(2-k)/x&&0<k<2&&m<=x<=8]
复制代码


化简得到
\[\left(0<x<1\land 0<k<\frac{2 x-2}{x^2-2}\land m\leq x\right)\lor \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)<x\leq 8\land \frac{2 x-2}{x^2-2}<k<\frac{2 x+6}{x^2+2}\land m\leq x\right)\]

点评

题目明确X是正整数,即m>=1;  发表于 2024-1-31 16:38
nyy
根据这个,m似乎可以取-1  发表于 2024-1-31 16:10
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