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[讨论] 根据三个三角形面积求矩形面积

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发表于 2024-2-9 14:48:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

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http://www.360doc.com/content/21/0804/21/3606604_989539564.shtml

这里面有一道题,也有解答。不过让我震惊的是,明明有四个未知数,却只要三个方程就可以算了?
还有可以考虑的是,展开后是一个一元二次方程,会不会多解?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-2-9 15:11:14 | 显示全部楼层
我算了一下,如果中间三角形的面积是\(S\),周围三个三角形的面积分别是\(a\)、\(b\)、\(c\),b是有两个顶点都不是矩形的顶点的三角形的面积,那么:
\(S^2=(a+b+c)^2-4ac\)
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 楼主| 发表于 2024-2-9 15:12:04 | 显示全部楼层
除了代数死算,有没有什么相对简单一点的证明?
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发表于 2024-2-9 18:55:37 | 显示全部楼层
1,  垂直边=a,  水平边=a。
  1. Solve[{(a - 8/a) (a - 6/a) == 10, a^2 - 12 == S, S > a > 0}, {a, S}]
复制代码

{{a -> 2 Sqrt[3 + Sqrt[6]], S -> 4 Sqrt[6]}}
2,  垂直边=4,  水平边=b。
  1. Solve[{6/b + 10/(b - 2) == 4, 4 b - 12 == S, S > b > 0}, {b, S}]
复制代码

{{b -> 3 + Sqrt[6], S -> 4 Sqrt[6]}}
3,  垂直边=c,  水平边=3。
  1. Solve[{8/c + 10/(c - 3) == 2, 2 c - 12 == S, c > S > 0}, {c, S}]
复制代码

{{c -> 2 (3 + Sqrt[6]), S -> 4 Sqrt[6]}}

4,  垂直边=,  水平边=。

5,  垂直边=,  水平边=。
......
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发表于 2024-2-9 23:31:55 | 显示全部楼层
由 \(a(c+d)=8\)、\(bc=10\) 和 \(d(a+b)=6\) 可解得:
\(a=\frac{4}{d}\times \frac{2\sqrt{6}-3}{\sqrt{6} +1}\)
\(b=\frac{2}{d}\times(2\sqrt{6}-3)\)
\(c=\frac{5d}{2\sqrt{6}-3}\)
矩形面积:\((a+b)(c+d)=4(3+\sqrt{6})\)
所求面积为: \(4(3+\sqrt{6})-(3+4+5)=4\sqrt{6}\)

当 d 取不同值时,矩形长和宽可以有不同的值,但面积不变。

点评

祝大家新春快乐,阖家安康!  发表于 2024-2-9 23:37
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发表于 2024-2-10 03:50:39 | 显示全部楼层
好題。
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发表于 2024-2-10 14:38:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 ejsoon 于 2024-2-10 14:40 编辑

c(a+b)=6
a(c+d)=8

推出:

$$c=\frac{6}{a+b}=\frac{8}{a}-d$$


由$bd=10$推出:
$$b=\frac{10}{d}$$

代入上式,得:

$$(ad)^2+8ad-80=0$$

該一元二次方程的解為:$-4±4\sqrt{6}$

由於ad必大於0,因此:

$$ad=4\sqrt{6}-4$$

則中間三角形面積:

$$S=(a+b)c+ad+bd-3-4-5=4\sqrt{6}$$
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发表于 2024-2-10 15:41:42 | 显示全部楼层
將其變化成等底等高的平行四邊形,面積不變,之後只需要算直角梯形的面積即可:

IMG_20240210_1536567.jpg

也是要算a跟b的關係,結果是一樣的。
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