根据三个三角形面积求矩形面积

manthanein

http://www.360doc.com/content/21/0804/21/3606604_989539564.shtml

这里面有一道题，也有解答。不过让我震惊的是，明明有四个未知数，却只要三个方程就可以算了？
还有可以考虑的是，展开后是一个一元二次方程，会不会多解？

manthanein

我算了一下，如果中间三角形的面积是\(S\)，周围三个三角形的面积分别是\(a\)、\(b\)、\(c\)，b是有两个顶点都不是矩形的顶点的三角形的面积，那么：
\(S^2=(a+b+c)^2-4ac\)

manthanein

除了代数死算，有没有什么相对简单一点的证明？

王守恩

1,  垂直边=a,  水平边=a。

1. Solve[{(a - 8/a) (a - 6/a) == 10, a^2 - 12 == S, S > a > 0}, {a, S}]

复制代码

{{a -> 2 Sqrt[3 + Sqrt[6]], S -> 4 Sqrt[6]}}
2,  垂直边=4,  水平边=b。

1. Solve[{6/b + 10/(b - 2) == 4, 4 b - 12 == S, S > b > 0}, {b, S}]

复制代码

{{b -> 3 + Sqrt[6], S -> 4 Sqrt[6]}}
3,  垂直边=c,  水平边=3。

1. Solve[{8/c + 10/(c - 3) == 2, 2 c - 12 == S, c > S > 0}, {c, S}]

复制代码

{{c -> 2 (3 + Sqrt[6]), S -> 4 Sqrt[6]}}

4,  垂直边=,  水平边=。

5,  垂直边=,  水平边=。
......

Jack315

由 \(a(c+d)=8\)、\(bc=10\) 和 \(d(a+b)=6\) 可解得：
\(a=\frac{4}{d}\times \frac{2\sqrt{6}-3}{\sqrt{6} +1}\)
\(b=\frac{2}{d}\times(2\sqrt{6}-3)\)
\(c=\frac{5d}{2\sqrt{6}-3}\)
矩形面积：\((a+b)(c+d)=4(3+\sqrt{6})\)
所求面积为： \(4(3+\sqrt{6})-(3+4+5)=4\sqrt{6}\)

当 d 取不同值时，矩形长和宽可以有不同的值，但面积不变。

ejsoon

好題。

ejsoon

c(a+b)=6
a(c+d)=8

推出：

$$c=\frac{6}{a+b}=\frac{8}{a}-d$$


由$bd=10$推出：
$$b=\frac{10}{d}$$

代入上式，得：

$$(ad)^2+8ad-80=0$$

該一元二次方程的解為：$-4±4\sqrt{6}$

由於ad必大於0，因此：

$$ad=4\sqrt{6}-4$$

則中間三角形面積：

$$S=(a+b)c+ad+bd-3-4-5=4\sqrt{6}$$

ejsoon

將其變化成等底等高的平行四邊形，面積不變，之後只需要算直角梯形的面積即可：



也是要算a跟b的關係，結果是一樣的。