求助老师们怎么证明这个式子不可能是一个整数的平方？

独坐看云起

p,q是大于1且不相等的两个整数，要证明：
p^16q^2+q^10-p^16-q^12不可能是一个整数的平方

uk702

In: Factor[p^16 q^2 + q^10 - p^16 - q^12]
Out: (-1 + q) (1 + q) (p^8 - q^5) (p^8 + q^5)

In: PolynomialGCD[q^2 - 1, p^16 - q^10]
Out: 1

显然 q^2-1 不是完全平方数，p^16 - q^10 = （q^2-1）(...) + (p^16-1)，故若原式为完全平方数，必须满足：
1）q^2-1 整除 p^16 -1；
2）(p^16 - q^10)/(q^2-1) 是一个完全平方数；

以下就不会了。

独坐看云起

uk702 发表于 2024-2-21 18:45
In: Factor[p^16 q^2 + q^10 - p^16 - q^12]
Out: (-1 + q) (1 + q) (p^8 - q^5) (p^8 + q^5)

谢谢老师！