平面的完善铺砌问题

老马识途工作法

背景：  在光学设计中，有一种像面探测器拼接的麻烦事。探测器通常是长方形，不单有光学敏感区域，而且有信号处理和接线区域，这些设计是工业基础，暂时无法避免。

应用： 用小面积探测器拼接形成大探测器面。由于机械干涉敏感区域无法无缝连接起来，  因此考虑用分光的方法形成两个光学像或者多次分光形成M个像。设N=拼接后像面尺寸/探测器的特征尺寸，可以认为是小探测器尺寸的放大倍数。

难题： 如何在M=2这种条件下使得，探测器阵列的分布不发生干涉的情况下，且小探测器长方形的使用尽量少，获取N倍放大后的较大视场。如果M=2无解，M至少等于多少？



很明显M=4 ，中间的缝也全都能拼贴完整，其实是等效于正方形周期铺贴。

按照这个思路，六边形铺贴是不是实现M=3是最节约的方式呢？


我在gpt3.5下问了如下问题：
用全同的长方形铺贴两个平面，要求两平面铺贴的结果在重合后形成完整铺贴，但是不允许同一平面上长方形接近到某一特定数值，这种铺贴能实现吗？


其回答如下：

如果要求用全同的长方形铺贴两个平面，并且在重合后形成完整铺贴，但不允许同一平面上的长方形接近到某一特定数值，这可能涉及到一些具体的几何和排列规则。

一种可能的方法是通过精确的几何布局和排列，确保两个平面上的长方形之间保持足够的距离，以防止接近到特定数值。这可能需要一些数学计算和调整，以满足具体的约束条件。

以下是一些可能的策略：

密排列的间隔控制：通过精确控制两个平面上相邻长方形的间隔，确保它们在重合后形成完整铺贴。这涉及到对长方形布局的精确计算，以满足距离要求。

非重叠排列：确保在两个平面上的长方形不重叠，同时保持足够的间隔。可以采用类似于充填空隙或利用对角线排列的方法，以最大程度地减少重叠可能性。

分散排列：通过在整个平面上分散排列长方形，而不是集中在特定区域，可以减少长方形之间的接近可能性。这可能需要在布局中引入一些变化和随机性。

动态调整：使用算法动态调整长方形的位置，以确保它们在两个平面上的铺贴后满足特定数值的要求。这可能需要在铺砌过程中进行多次迭代和调整。

需要注意的是，具体的实现方式取决于问题的具体要求和约束条件。在实际应用中，可能需要使用计算机辅助设计和优化算法来找到最佳的铺砌方案。
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看来GPT虽然给出了动态优化的方案，但是实在不是一个真正的数学解，这个解也许在N比较小的时候是一个不错的选择，但是没有解决存在性问题，也没有解决构造性问题。


这个问题有一定的实用意义，其中条件变化后可能还有别的应用。谢谢关心，欢迎解决！