出租车数量估计的博弈

KeyTo9_Fans

《估计出租车的数量》是一道数学建模问题：

https://blog.csdn.net/m0_65230635/article/details/124956888

模型假设：

1.出租车的牌号是从0001开始，按顺序发放的，若出租车的数量是x（不知道x具体是多少），那么发放的牌号为：0001、0002、0003、……、x
2.在路上看到的10辆出租车的牌号x1、x2、x3、...、x10，可以看做是总体X={0001，0002，0003，...，x}的10个（抽取后不放回的）随机样本

需要解决的问题：

设计一个函数f(x1,x2,x3,...,x10)，使得f(x1,x2,x3,...,x10)的值与x的值尽可能接近。

链接里提供了5种解法，对样本排序后不妨设x1<x2<x3<...<x10，5种解法分别如下：

解法1：用样本平均值的2倍来估计x，即f(x1,x2,x3,...,x10)=2*(x1+x2+...+x10)/10
解法2：用样本中位数的2倍来估计x，即f(x1,x2,x3,...,x10)=2*(x5+x6)/2
解法3：用样本最小值与样本最大值之和来估计x，即f(x1,x2,x3,...,x10)=x1+x10
解法4：用样本最大值的1.1倍来估计x，即f(x1,x2,x3,...,x10)=1.1*x10
解法5：用样本最大值的1.05倍来估计x，即f(x1,x2,x3,...,x10)=1.05*x10

5种解法哪种最好呢？还有没有更好的解法呢？链接里并没有给出具体的评价依据和其它解法。

因此本贴希望在评价依据和其它解法这里进行小题大作，对上述问题进行了修改，修改后的问题如下：

假设N是一个非常大，但又不是无穷大的一个整数，

假设有一个随机数生成系统，它可以在10到N这(N-9)个整数里等概率地随机抽取1个整数，记为x

这个系统接下来会根据x的值，在总体X={1,2,3,...,x}里随机抽取10个样本x1、x2、x3、……、x10

然后把x1、x2、x3、……、x10的值发送到一个微信群里（假设群里有KeyTo9_Fans和mathe）

KeyTo9_Fans和mathe收到x1、x2、x3、……、x10的值后，都要提交一个数给系统

假设KeyTo9_Fans提交的数是x^，mathe提交的数是x*

系统会比较一下x^和x*，哪个更接近x：

如果x^更接近x，则KeyTo9_Fans得1分；
如果x*更接近x，则mathe得1分；
如果|x^-x|=|x*-x|，则KeyTo9_Fans和mathe各得0.5分。

然后系统把N增大一个随机的倍数（从1到N里任取一个数，作为要增大的倍数），

然后重复上述过程M次（M也是一个非常大，但又不是无穷大的一个整数，相当于上面这个比赛要进行M轮）

KeyTo9_Fans和mathe都希望M轮后自己的得分之和大于等于对方的得分之和，并且互相知道各自的这个优化目标

问他们会如何设计这个函数f(x1,x2,x3,…,x10)来生成每次的估计值x^和x*呢？

mathe

我们假设有n俩车，一次观察k俩车，得到最大编号为m, 那么显然必然有$n>=m$
而在n充分大时，这个事件在n俩车时发生的概率大概为\((\frac mn)^k-(\frac {m-1}n)^k\)
我们可以假设先验概率所有$>=m$的n等分布，于是得到后面概率n的各种取值概率为
\(P(n,m,k)=\frac{(\frac mn)^k-(\frac {m-1}n)^k}{\sum_{h=m}^{\infty} (\frac mh)^k-(\frac {m-1}h)^k}\)
对于给定的m,k,所有n值对应的概率都可以计算出来，于是两人选择不同的n对应的得分和概率都可以算出来，然后就是两个人博弈对弈问题了

KeyTo9_Fans

有没有不败的固定策略呢？比如，我每次就提交n的后验分布的中位数给系统，你是否有一个得分高于我的策略呢？

如果没有，那问题就解决了。如果有，那问题就复杂了，所有的固定策略f可能都会被另一个固定策略f'击败，我们需要把策略f设置成一个概率分布函数