广场上四只狗两种距离

northwolves

广场上蹲着4只狗, 狗狗间的距离要么为 D₁, 要么为D₂, 6 个距离只此二值， 忽略镜像、旋转, 4只狗的占位构成哪些可能的形状? 比如:

wayne

总共六种情况，除了楼主给的两种,还有三种如下图, 还有一种不那么显然，在楼下：

wayne

第6种情况，正五边形的 4 个顶点：

KeyTo9_Fans

慢了一步…… 早知道我就不计算长度了……

wayne

刚好十周年了.

dingjifen

共有6种：（1）正方形；（2）正三角形；（3）菱形；（4）镖形；（5）等腰三角形；（6）梯形。

hujunhua

挖个坟

1、如果再多一只狗，是否只有正五边形一种占位图？

2、在三维空间，只有两种距离最多几只狗？
      可知正八面体为6只狗，但6只狗还可有2种正五棱锥，一种正三棱柱（侧面为正方形）。还有吗？
      计算表明双五棱锥不行，故猜想7只狗不行。

3、三只狗两种距离可有无数种占位图，所以在平面最少四只狗才如上构图有限。那么空间最少几只狗？
      四只显然无限，那么五只呢？

4、或者在三维空间，三种距离才不落俗套？

白白白

五只狗肯定要在四只狗的基础上，这六种情况应该只有最后一种可以变成符合条件的，就是正五边形，而且增加不了第六只狗。
如果七只狗中的距离只有三种大小，可以是正六边形和中心；六只狗中若有三种距离可以是七个中任六个，还可以是正五边形和中心。
所以八只狗之间有可能只有三种距离吗？七只和六只还有其他情况吗？
对六只和七只，最多有多少条两两间距离的值只用到两种？以及对三只以上的狗，两两间的距离最多有多少条可以相等？

mathe

这个问题不算太难，关键是要如何分析才能不漏解。
四只狗两种距离，我们可以分类分析
i)有一只狗A到另外三只狗B,C,D的距离都相等，不妨设这个距离为单位距离1，那么B,C,D都在以A为圆心的单位圆上。
   i.i) B,C,D两两之间距离都不等于1，于是它们两两之间距离相等（总共只有两种不同的距离), 所以三角形BCD为正三角形，而且是单位圆A的内接正三角形，所以这个距离为$\sqrt{3}$, 形状唯一。对应贴主发的图中右边的方案：

     
   i.ii) B,C,D两两之间有一个距离等于1，不妨设BD=1,另外两个距离不等于1，由于只有两种不同的距离于是BC=CD。所以三角形ABD是正三角形，C在BD的中垂线上，于是C是BD中垂线和圆A的交点，有两种不同的解。对应wayne第一次贴的后两个图:


   i.iii) B,C,D之间有两个距离等于1，不妨设BC=CD=1, 另外一个距离不等于1，于是在圆A上，必然C点在中间，对应结果是菱形，即wayne的第一个图

   i.iv) B,C,D之间两两距离都等于1，那么它们必然形成边长为1的正三角形而且内接与半径为1的圆心，这不可能，淘汰。
ii)任何一只狗到另外三只狗的距离都包含两种不同距离，不妨设狗A到B,C距离相等为1，到D点距离不同为b.
   B到A的距离已经是1，那么到C和D两点至少有一个点距离为b
   ii.i) BC=BD=b, 由于D到A,B距离都是b,所以CD=1. 对应wanye最后补发的图

   ii.ii) BC=1,BD=b，同样根据D三个距离不同有CD=1，根据C三个距离不同有CD=b,不符号要求淘汰。
   ii.iii) BC=b, BD=1, 于是CD可以是1也可以是b,两者实际是等价，都对应正方形和两对角线，即贴主发的图中左边的方案

所以总共有且只有六种情况。

mathe

上面分析方法还是有点烧脑子，那么是否可以有机械一些的方案呢？
题目中总共有四只狗，可以用A,B,C,D四个点来代替，我们假设它们的坐标分别为$(x_A,y_A),(x_B,y_B),(x_C,y_C),(x_D,y_D)$
它们形成了6个距离$AB,AC,AD,BC,BD,CD$, 由于6个距离中只有两种不同的距离，那么我们只要将这六个距离分成两组，每组内部要求距离相等即可得到一系列关于8个变量$x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C,x_D,y_D$的方程。如果能够依次判断这些方程是否有解，就可以比较机械的解决这个问题了。
比如第一种分组方案要求$AB=AC=AD=BC=BD$, $CD$单独一组，于是我们这种情况变成方程组
$(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2=(x_A-x_D)^2+(y_A-y_D)^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2=(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2$
这个方程组有些复杂。而且考虑我们图象进行平移，旋转等比例放缩等操作我们认为结果是不变的。我们总可以实现任意指定两个点的坐标。
所以我们不妨设$(x_A,y_A)=(0,0), (x_B,y_B)=(1,0)$,于是方程组变成
$1=(x_C)^2+(y_C)^2=(x_D)^2+(y_D)^2=(1-x_C)^2+(y_C)^2=(1-x_D)^2+(y_D)^2$,
于是可以求得四组不同的解，如果去除对称性，可以发现它们都是相等的，于是我们可以通过机械方法求得其中一组解。

上面把6个距离分成两组的方案可以有31种不同的划分方法，但是其中有很多方案是等价的。比如一组一个距离，另外一组五个距离的划分方案有6种，但是由于4个点的初始关系都是对称的，所以这6中方案本质上都是等价的。
更一般情况，任何两种不同的划分方案，如果能够通过置换其中四个字母后相互转化，那么我们就认为是等价的，通过这种方法，可以将需要分析的划分方案进一步减少。

这种解题方法看上去非常繁琐，但是其优点是机械化，适合计算机处理，使用这种方案，我们就可以考虑扩展的问题，比如最多可以有布置多少条狗使得它们两两之间的距离最多有k种呢?
比如只有1种距离，那么最多3条狗，构成等边三角形；2种不同距离，最多5条狗，构成正五边形。
那么更多的距离呢？
关于这个扩展问题，我们可以搜索到A131628