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[原创] 广场上四只狗两种距离

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发表于 2010-1-2 12:27:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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精华
广场上蹲着4只狗, 狗狗间的距离要么为 D₁, 要么为D₂, 6 个距离只此二值,
忽略镜像、旋转, 4只狗的占位构成哪些可能的形状?
比如:
dogs.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-1-2 14:12:38 | 显示全部楼层
总共六种情况,除了楼主给的两种,还有三种如下图, 还有一种不那么显然,在楼下:
41.png
42.png
43.png

点评

nyy
你的图怎么画出来的?  发表于 2024-3-12 22:42

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KeyTo9_Fans + 1

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-1-2 17:13:39 | 显示全部楼层
第6种情况,正五边形的 4 个顶点:
44.png

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参与人数 2贡献 +1 经验 +1 鲜花 +1 收起 理由
northwolves + 1 + 1
KeyTo9_Fans + 1 狂汗楼下的评分-.-|bb 我是用附件里的画图工 ...

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-1-2 17:15:58 | 显示全部楼层
慢了一步……

northwolves.JPG

早知道我就不计算长度了……

点评

nyy
windows附件里的画图能画这么好?我深表怀疑!  发表于 2024-3-13 08:45
用windows附件里的画图画的  发表于 2024-3-12 12:36
nyy
请问你的图怎么画的?  发表于 2024-3-12 11:56

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参与人数 1鲜花 +2 收起 理由
wayne + 2 你也是用Mathematica画的吗

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-4 11:29:59 | 显示全部楼层
刚好十周年了.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-1-4 18:52:08 来自手机 | 显示全部楼层
共有6种:(1)正方形;(2)正三角形;(3)菱形;(4)镖形;(5)等腰三角形;(6)梯形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-31 01:00:45 | 显示全部楼层
挖个坟

1、如果再多一只狗,是否只有正五边形一种占位图?

2、在三维空间,只有两种距离最多几只狗?
      可知正八面体为6只狗,但6只狗还可有2种正五棱锥,一种正三棱柱(侧面为正方形)。还有吗?
      计算表明双五棱锥不行,故猜想7只狗不行。

3、三只狗两种距离可有无数种占位图,所以在平面最少四只狗才如上构图有限。那么空间最少几只狗?
      四只显然无限,那么五只呢?

4、或者在三维空间,三种距离才不落俗套?

点评

三维空间,三种距离 4维空间,4种距离 .。。。  发表于 2021-3-31 11:44
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-3 17:04:29 | 显示全部楼层
五只狗肯定要在四只狗的基础上,这六种情况应该只有最后一种可以变成符合条件的,就是正五边形,而且增加不了第六只狗。
如果七只狗中的距离只有三种大小,可以是正六边形和中心;六只狗中若有三种距离可以是七个中任六个,还可以是正五边形和中心。
所以八只狗之间有可能只有三种距离吗?七只和六只还有其他情况吗?
对六只和七只,最多有多少条两两间距离的值只用到两种?以及对三只以上的狗,两两间的距离最多有多少条可以相等?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-3-11 08:07:14 | 显示全部楼层
这个问题不算太难,关键是要如何分析才能不漏解。
四只狗两种距离,我们可以分类分析
i)有一只狗A到另外三只狗B,C,D的距离都相等,不妨设这个距离为单位距离1,那么B,C,D都在以A为圆心的单位圆上。
   i.i) B,C,D两两之间距离都不等于1,于是它们两两之间距离相等(总共只有两种不同的距离), 所以三角形BCD为正三角形,而且是单位圆A的内接正三角形,所以这个距离为$\sqrt{3}$, 形状唯一。对应贴主发的图中右边的方案:

     
   i.ii) B,C,D两两之间有一个距离等于1,不妨设BD=1,另外两个距离不等于1,由于只有两种不同的距离于是BC=CD。所以三角形ABD是正三角形,C在BD的中垂线上,于是C是BD中垂线和圆A的交点,有两种不同的解。对应wayne第一次贴的后两个图:


   i.iii) B,C,D之间有两个距离等于1,不妨设BC=CD=1, 另外一个距离不等于1,于是在圆A上,必然C点在中间,对应结果是菱形,即wayne的第一个图

   i.iv) B,C,D之间两两距离都等于1,那么它们必然形成边长为1的正三角形而且内接与半径为1的圆心,这不可能,淘汰。
ii)任何一只狗到另外三只狗的距离都包含两种不同距离,不妨设狗A到B,C距离相等为1,到D点距离不同为b.
   B到A的距离已经是1,那么到C和D两点至少有一个点距离为b
   ii.i) BC=BD=b, 由于D到A,B距离都是b,所以CD=1. 对应wanye最后补发的图

   ii.ii) BC=1,BD=b,同样根据D三个距离不同有CD=1,根据C三个距离不同有CD=b,不符号要求淘汰。
   ii.iii) BC=b, BD=1, 于是CD可以是1也可以是b,两者实际是等价,都对应正方形和两对角线,即贴主发的图中左边的方案

所以总共有且只有六种情况。
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发表于 2024-3-11 08:27:45 | 显示全部楼层
上面分析方法还是有点烧脑子,那么是否可以有机械一些的方案呢?
题目中总共有四只狗,可以用A,B,C,D四个点来代替,我们假设它们的坐标分别为$(x_A,y_A),(x_B,y_B),(x_C,y_C),(x_D,y_D)$
它们形成了6个距离$AB,AC,AD,BC,BD,CD$, 由于6个距离中只有两种不同的距离,那么我们只要将这六个距离分成两组,每组内部要求距离相等即可得到一系列关于8个变量$x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C,x_D,y_D$的方程。如果能够依次判断这些方程是否有解,就可以比较机械的解决这个问题了。
比如第一种分组方案要求$AB=AC=AD=BC=BD$, $CD$单独一组,于是我们这种情况变成方程组
$(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2=(x_A-x_D)^2+(y_A-y_D)^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2=(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2$
这个方程组有些复杂。而且考虑我们图象进行平移,旋转等比例放缩等操作我们认为结果是不变的。我们总可以实现任意指定两个点的坐标。
所以我们不妨设$(x_A,y_A)=(0,0), (x_B,y_B)=(1,0)$,于是方程组变成
$1=(x_C)^2+(y_C)^2=(x_D)^2+(y_D)^2=(1-x_C)^2+(y_C)^2=(1-x_D)^2+(y_D)^2$,
于是可以求得四组不同的解,如果去除对称性,可以发现它们都是相等的,于是我们可以通过机械方法求得其中一组解。

上面把6个距离分成两组的方案可以有31种不同的划分方法,但是其中有很多方案是等价的。比如一组一个距离,另外一组五个距离的划分方案有6种,但是由于4个点的初始关系都是对称的,所以这6中方案本质上都是等价的。
更一般情况,任何两种不同的划分方案,如果能够通过置换其中四个字母后相互转化,那么我们就认为是等价的,通过这种方法,可以将需要分析的划分方案进一步减少。

这种解题方法看上去非常繁琐,但是其优点是机械化,适合计算机处理,使用这种方案,我们就可以考虑扩展的问题,比如最多可以有布置多少条狗使得它们两两之间的距离最多有k种呢?
比如只有1种距离,那么最多3条狗,构成等边三角形;2种不同距离,最多5条狗,构成正五边形。
那么更多的距离呢?
关于这个扩展问题,我们可以搜索到A131628

评分

参与人数 2威望 +14 金币 +14 贡献 +14 经验 +14 鲜花 +14 收起 理由
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 分析透彻!
wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 很好的推广!

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