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[转载] 求极小值

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发表于 2024-3-15 09:53:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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手机上刷到的题:
求 \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-4x+4+y^2}+\sqrt{x^2+y^2-4y+4}\) 的极小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-3-15 10:38:23 | 显示全部楼层
费马点

点评

这是狼版眼光独到,一眼洞穿。费马点解题的思路是”两点间直线距离最短“……网上都有,也算一小技巧。  发表于 2024-3-15 12:45
nyy
到三角形三个顶点的费马点!你真聪明  发表于 2024-3-15 10:51
对,就是这个。  发表于 2024-3-15 10:46
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发表于 2024-3-15 10:50:29 | 显示全部楼层
这题可弱智了!

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*定义表达式*)
  3. f=Sqrt[x^2+y^2]+Sqrt[x^2+y^2-4*x+4]+Sqrt[x^2+y^2-4*y+4]
  4. (*求两个方程的偏导数*)
  5. {fx,fy}=D[f,{{x,y}}]//Simplify
  6. (*求偏导数解方程组*)
  7. ans=Solve[GroebnerBasis@D[f,{{x,y}}]==0,{x,y}]
  8. (*隐函数绘图,确实只有一个根*)
  9. ContourPlot[{fx==0,fy==0},{x,-5,5},{y,-5,5}]
  10. (*求目标函数的值*)
  11. aaa=FullSimplify[f/.ans[[1]]]
  12. (*画出三维图*)
  13. Plot3D[f,{x,-25,25},{y,-25,25},Mesh->100]
复制代码


stationary point为\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(3-\sqrt{3}\right),y\to \frac{1}{3} \left(3-\sqrt{3}\right)\right\}\right\}\]
数值化得到
{{x -> 0.42265, y -> 0.42265}}

代入表达式得到
\[\sqrt{2}+\sqrt{6}\]

用隐函数绘图,检测到函数只有一个极值点(图上只有一个交点),这样就把问题解决了!
这里面存在一个问题,因为开根号的函数,一旦根号下面等于零,也就是这时这个函数的导数不存在了,
因此只用求导的办法来解决问题是不妥的,因此需要画出函数的三维图,然后肉眼观察一下,确实只有一个极小值。
至于三维图,给郭老大省点空间,我就不上传了!




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发表于 2024-3-15 11:01:44 | 显示全部楼层

用你的思路,用余弦定理列方程组来吊打这个问题!
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*三个角成120°,用余弦定理列方程组来解决问题*)
  6. ans=Solve[{
  7.     Numerator@Together[cs[x,y,2]-Cos[120deg]]==0,
  8.     Numerator@Together[cs[y,z,Sqrt[8]]-Cos[120deg]]==0,
  9.     Numerator@Together[cs[z,x,2]-Cos[120deg]]==0
  10. },{x,y,z}]//FullSimplify
  11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
  12. (*求出目标函数值*)
  13. f=(x+y+z/.ans)//FullSimplify
复制代码


方程组求解结果
\[\begin{array}{rrr}
x\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to \sqrt{\frac{8}{3}+\frac{4}{\sqrt{3}}} & y\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
\end{array}\]

代入目标函数值,得到
\[\left\{\sqrt{2} \left(\sqrt{3}-1\right),\sqrt{2}-\sqrt{6},-2 \sqrt{\sqrt{3}+2},2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\]


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发表于 2024-3-15 11:13:59 | 显示全部楼层

把这个问题想复杂了,由于这题是等腰直角三角形,由于三个120度,且对称,
所以用手算也能解决这个问题,我刚才手算了一下,还是能比较快的解决问题的。
和我用软件算的结果是一样的

点评

nyy
如果是一般的三角形,估计算就比较困难了  发表于 2024-3-15 11:15
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发表于 2024-3-15 12:54:42 | 显示全部楼层
image001.png image002.png


如图。设F点为所求,作等边三角形$\triangleABD$,$\triangle BFE$.若使$FA+FB+FC=DE+EF+FC$最短,则DEFC四点共线,$\angle DBC=\frac{\5pi}{6}$。

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几个基本图形,几个文本框,几条线,组合一下即可  发表于 2024-3-15 14:12
ppt画的  发表于 2024-3-15 14:11
nyy
你这图用什么软件画的?居然还能有颜色  发表于 2024-3-15 13:56
nyy
这个不用余弦定理也能解出来。完全可以口算之类的  发表于 2024-3-15 13:56

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参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 鲜花 +2 收起 理由
Jack315 + 2 + 2 + 2 + 2 正解,很给力!

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发表于 2024-3-15 13:54:35 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-3-15 12:54
如图。设F点为所求,作等边三角形$\triangleABD$,$\triangle BFE$.若使$FA+FB+FC=DE+EF+FC$最短,则DEFC ...
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*用余弦定理解第三边,求出第三边的长度*)
  6. ans=Solve[cs[2,2,x]==Cos[(90+60)deg],x]
复制代码


求解结果
\[\left\{\left\{x\to -2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\},\left\{x\to 2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\right\}\]

进一步化简
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{2}-\sqrt{6}\right\},\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{6}\right\}\right\}\]

点评

代码注释是个好习惯,但过于简单的语句真的没必要注释一下  发表于 2024-3-15 14:01
nyy
我用软件算,因为软件省得思考,省去了计算的麻烦,用计算器与人脑,在纸上也能算出来  发表于 2024-3-15 13:57
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发表于 2024-3-15 15:38:30 | 显示全部楼层
瞪眼: x,y地位相等(可互换)。
  1. Minimize[{Sqrt[x^2 + x^2] + Sqrt[x^2 + x^2 - 4 x + 4] + Sqrt[x^2 + x^2 - 4 x + 4]}, {x}] // FullSimplify
复制代码

{Sqrt[2] + Sqrt[6], {x -> 1 - 1/Sqrt[3]}}

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nyy
吐死我了,人家是两个变量!你“简化”成一个变量了!  发表于 2024-3-15 16:23
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 楼主| 发表于 2024-3-15 20:15:57 | 显示全部楼层
如图所示:
费马点.png
以三角形的三条边向外作正三角形。\(AE\)、\(BF\) 和 \(CD\) 三条线的交点 \(P\) 即为费马点。

将 \(\triangle ABP\) 顺时针旋转 \(\frac{\pi}{3}\) 即可看出 \(DC(=AE)\) 即为所求的极小值。
在这个题目的条件下有很简洁的求解方法:
极小值\(=2\times BC\times \cos{\frac{\pi}{12}}=2\times2\times\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)
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 楼主| 发表于 2024-3-15 20:52:54 | 显示全部楼层
在 \(\triangle APC\) 中可求得 \(PC=\frac{AC}{2\cos{\frac{\pi}{6}}}\) 。
若以 \(B\) 点为坐标原点,则可求得 \(P\) 点的坐标为:
\(x=y=PC\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{AC}{2\cos{\frac{\pi}{6}}}\sin{\frac{\pi}{12}}\)
\(=\sqrt{2}\frac{\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
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