求极小值

Jack315

手机上刷到的题：
求 \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-4x+4+y^2}+\sqrt{x^2+y^2-4y+4}\) 的极小值。

northwolves

费马点

nyy

这题可弱智了！

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义表达式*)
   
3. f=Sqrt[x^2+y^2]+Sqrt[x^2+y^2-4*x+4]+Sqrt[x^2+y^2-4*y+4]
   
4. (*求两个方程的偏导数*)
   
5. {fx,fy}=D[f,{{x,y}}]//Simplify
   
6. (*求偏导数解方程组*)
   
7. ans=Solve[GroebnerBasis@D[f,{{x,y}}]==0,{x,y}]
   
8. (*隐函数绘图,确实只有一个根*)
   
9. ContourPlot[{fx==0,fy==0},{x,-5,5},{y,-5,5}]
   
10. (*求目标函数的值*)
    
11. aaa=FullSimplify[f/.ans[[1]]]
    
12. (*画出三维图*)
    
13. Plot3D[f,{x,-25,25},{y,-25,25},Mesh->100]
    

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stationary point为\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(3-\sqrt{3}\right),y\to \frac{1}{3} \left(3-\sqrt{3}\right)\right\}\right\}\]
数值化得到
{{x -> 0.42265, y -> 0.42265}}

代入表达式得到
\[\sqrt{2}+\sqrt{6}\]

用隐函数绘图，检测到函数只有一个极值点（图上只有一个交点），这样就把问题解决了！
这里面存在一个问题，因为开根号的函数，一旦根号下面等于零，也就是这时这个函数的导数不存在了，
因此只用求导的办法来解决问题是不妥的，因此需要画出函数的三维图，然后肉眼观察一下，确实只有一个极小值。
至于三维图，给郭老大省点空间，我就不上传了！

nyy

northwolves 发表于 2024-3-15 10:38
费马点

用你的思路，用余弦定理列方程组来吊打这个问题！

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*三个角成120°,用余弦定理列方程组来解决问题*)
   
6. ans=Solve[{
   
7.     Numerator@Together[cs[x,y,2]-Cos[120deg]]==0,
   
8.     Numerator@Together[cs[y,z,Sqrt[8]]-Cos[120deg]]==0,
   
9.     Numerator@Together[cs[z,x,2]-Cos[120deg]]==0
   
10. },{x,y,z}]//FullSimplify
    
11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    
12. (*求出目标函数值*)
    
13. f=(x+y+z/.ans)//FullSimplify
    

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方程组求解结果
\[\begin{array}{rrr}
x\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to \sqrt{\frac{8}{3}+\frac{4}{\sqrt{3}}} & y\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
x\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} & y\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & z\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \\
\end{array}\]

代入目标函数值，得到
\[\left\{\sqrt{2} \left(\sqrt{3}-1\right),\sqrt{2}-\sqrt{6},-2 \sqrt{\sqrt{3}+2},2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\]

nyy

northwolves 发表于 2024-3-15 10:38
费马点

把这个问题想复杂了，由于这题是等腰直角三角形，由于三个120度，且对称，
所以用手算也能解决这个问题，我刚才手算了一下，还是能比较快的解决问题的。
和我用软件算的结果是一样的

northwolves

如图。设F点为所求，作等边三角形$\triangleABD$,$\triangle BFE$.若使$FA+FB+FC=DE+EF+FC$最短，则DEFC四点共线,$\angle DBC=\frac{\5pi}{6}$。

nyy

northwolves 发表于 2024-3-15 12:54
如图。设F点为所求，作等边三角形$\triangleABD$,$\triangle BFE$.若使$FA+FB+FC=DE+EF+FC$最短，则DEFC ...

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*用余弦定理解第三边,求出第三边的长度*)
   
6. ans=Solve[cs[2,2,x]==Cos[(90+60)deg],x]
   

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{x\to -2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\},\left\{x\to 2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\right\}\]

进一步化简
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{2}-\sqrt{6}\right\},\left\{x\to \sqrt{2}+\sqrt{6}\right\}\right\}\]

王守恩

瞪眼: x,y地位相等(可互换)。

1. Minimize[{Sqrt[x^2 + x^2] + Sqrt[x^2 + x^2 - 4 x + 4] + Sqrt[x^2 + x^2 - 4 x + 4]}, {x}] // FullSimplify

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{Sqrt[2] + Sqrt[6], {x -> 1 - 1/Sqrt[3]}}

Jack315

如图所示：

以三角形的三条边向外作正三角形。\(AE\)、\(BF\) 和 \(CD\) 三条线的交点 \(P\) 即为费马点。

将 \(\triangle ABP\) 顺时针旋转 \(\frac{\pi}{3}\) 即可看出 \(DC(=AE)\) 即为所求的极小值。
在这个题目的条件下有很简洁的求解方法：
极小值\(=2\times BC\times \cos{\frac{\pi}{12}}=2\times2\times\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)

Jack315

在 \(\triangle APC\) 中可求得 \(PC=\frac{AC}{2\cos{\frac{\pi}{6}}}\) 。
若以 \(B\) 点为坐标原点，则可求得 \(P\) 点的坐标为：
\(x=y=PC\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{AC}{2\cos{\frac{\pi}{6}}}\sin{\frac{\pi}{12}}\)
\(=\sqrt{2}\frac{\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)