凸四边形的重心问题

hujunhua

已知：凸四边形ABCD的面积重心为G，四个顶点的质心为O，对角线交点为X.
试证明：G, O, X三点共线并且XO=3·OG。


用Geogebra作图，可以直接提取G

mathe

如图，M为BD中点， $G_1,G_2$为三角形ABD和CBD重心，$O_1,O_2$为AM,CM中点。
我们可以想象B,D两个点都被分成两个半个点，左边一半和A一起重心在$O_1$,右边一半和C一起重心$O_2$,
所以四个点重心O在$O_1,O_2$中点。另外显然$G_1G'=GG_2$。
结果就很显然了，是一些简单比例计算问题了，只要证明$XO':XG'=3:4=O'O:G'G$即可。

mathe

把定比分点公式           `X=\D\frac{A·XC+C·AX}{AC}\tag1`
化为                           `A·XC+C·AX=X·AC\tag2`
该式可解释为静力平衡公式，在`A,C,X`点的平行作用力分别为`XC,AX,AC`，
或者说`A,C,X`为权重`XC,AX,AC`的质点。《质点几何学》(莫绍揆) 对此有系统的阐述。

定比分点公式是仿射不变的，故由此转化的质点关系也是仿射不变的。
又，面积关系是仿射不变的，所以三角形的面积重心与顶点质心重合。将一般三角形仿射变换为正三角形即可得知。
所以`△ABD`与`△CBD`的重心分别为`\D G_1=\frac{A+B+D}3,G_2=\frac{C+B+D}3\tag3`
注意到`△ABD`与`△CBD`共底，面积之比等于`AX:XC`，而`G`一定在`G_1G_2`连线上。所以
`G_1·AX+G_2·XC=G·AC\tag4`
注意到(4)与(2)有相同的权重，将(3)代入 (2) + 3 · (4) 可得
`(A+B+C+D)·(AX+XC) =(3G+X)·AC\tag5`
`→O·4AC =(3G+X)·AC\tag6`
两边除以`AC`得 $4O=3G+X→(O-X)=3(G-O)→XO=3OG$.

wayne

用Geogebra作图，可以直接提取G

1)  平面几何题中关于 面积中心好像不怎么用.我只联想到了数学里的积分. 而多边形的面积中心 我愣了半天.然后搜了下,才释然.https://mathworld.wolfram.com/PolygonCentroid.html
\[{C_{x}=\frac {1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),C_{y}=\frac {1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}\]
2)  关于面积中心的Geogebra作图,我也没找到按钮操作. 只找到了 Centroid 命令.

wayne

多边形的面积中心(centroid) 的平面几何(欧几里得)意义不明显, 主要是物理意义(微分几何). 根本原因是 其定义本质上是 微积分.   这让我想到了 微分几何 跟 平面几何的 分裂.

hujunhua

顶点质心公式及面积关系都是仿射不变的。
正三角形的面积重心是与顶点质心重合的，将它作仿射变换可知一般三角形亦是。
记`△ABD,△BAC,△CBD,△DAC`的面积重心分别为`G_1,G_2,G_3,G_4`, 可知
`3G_1=A+B+D=(A+B+C+D)-C=4O-C`
`→3(G_1-O)=O-C`，即`3G_1O=OC`
同理，`3G_2O=OD,3G_3O=OA,3G_4O=OB`
可见四点形`G_1G_2G_3G_4`与四点形`CDAB`关于中心`O`位似，位似比等于-1/3.
`G`在`G_1G_3`连线上，亦在`G_2G_4`连线上，所以是两者的交点，故是上述位似关系下`X`的像点，
所以`XO=3·OG`