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[讨论] 凸四边形的重心问题

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发表于 2024-3-20 10:39:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知:凸四边形ABCD的面积重心为G,四个顶点的质心为O,对角线交点为X.
试证明:G, O, X三点共线并且XO=3·OG。
捕获.PNG

用Geogebra作图,可以直接提取G
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发表于 2024-3-21 10:17:43 | 显示全部楼层
1.png
如图,M为BD中点, $G_1,G_2$为三角形ABD和CBD重心,$O_1,O_2$为AM,CM中点。
我们可以想象B,D两个点都被分成两个半个点,左边一半和A一起重心在$O_1$,右边一半和C一起重心$O_2$,
所以四个点重心O在$O_1,O_2$中点。另外显然$G_1G'=GG_2$。
结果就很显然了,是一些简单比例计算问题了,只要证明$XO':XG'=3:4=O'O:G'G$即可。
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发表于 2024-3-21 10:35:17 | 显示全部楼层

杠杆原理与定比分点公式

把定比分点公式           `X=\D\frac{A·XC+C·AX}{AC}\tag1`
化为                           `A·XC+C·AX=X·AC\tag2`
该式可解释为静力平衡公式,在`A,C,X`点的平行作用力分别为`XC,AX,AC`,
或者说`A,C,X`为权重`XC,AX,AC`的质点。《质点几何学》(莫绍揆) 对此有系统的阐述。

定比分点公式是仿射不变的,故由此转化的质点关系也是仿射不变的。
又,面积关系是仿射不变的,所以三角形的面积重心与顶点质心重合。将一般三角形仿射变换为正三角形即可得知。
所以`△ABD`与`△CBD`的重心分别为`\D G_1=\frac{A+B+D}3,G_2=\frac{C+B+D}3\tag3`
注意到`△ABD`与`△CBD`共底,面积之比等于`AX:XC`,而`G`一定在`G_1G_2`连线上。所以
`G_1·AX+G_2·XC=G·AC\tag4`
注意到(4)与(2)有相同的权重,将(3)代入 (2) + 3 · (4) 可得
`(A+B+C+D)·(AX+XC) =(3G+X)·AC\tag5`
`→O·4AC =(3G+X)·AC\tag6`
两边除以`AC`得 $4O=3G+X→(O-X)=3(G-O)→XO=3OG$.

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发表于 2024-3-21 21:26:55 | 显示全部楼层
用Geogebra作图,可以直接提取G

1)  平面几何题中关于 面积中心好像不怎么用.我只联想到了数学里的积分. 而多边形的面积中心 我愣了半天.然后搜了下,才释然.https://mathworld.wolfram.com/PolygonCentroid.html
\[{C_{x}=\frac {1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),C_{y}=\frac {1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}\]
2)  关于面积中心的Geogebra作图,我也没找到按钮操作. 只找到了 Centroid 命令.

点评

多谢,我查了文档才知道这么操作的.没想到你们已经会了. geogebra的深度玩家啊  发表于 2024-3-22 09:48
先要作出实心的四边形,然后用 centroid 命令得到的就是面积重心。  发表于 2024-3-22 07:05
对于三角形面积重心和顶点重心是相同的。而多边形可以分割为若干个三角形,总体重心就可以变成各小三角形重心关于面积的加权平均  发表于 2024-3-21 22:05
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发表于 2024-3-22 09:51:12 | 显示全部楼层
多边形的面积中心(centroid) 的平面几何(欧几里得)意义不明显, 主要是物理意义(微分几何). 根本原因是 其定义本质上是 微积分.   这让我想到了 微分几何 跟 平面几何的 分裂.


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 楼主| 发表于 2024-3-22 11:51:56 | 显示全部楼层
顶点质心公式及面积关系都是仿射不变的。
正三角形的面积重心是与顶点质心重合的,将它作仿射变换可知一般三角形亦是。
记`△ABD,△BAC,△CBD,△DAC`的面积重心分别为`G_1,G_2,G_3,G_4`, 可知
`3G_1=A+B+D=(A+B+C+D)-C=4O-C`
`→3(G_1-O)=O-C`,即`3G_1O=OC`
同理,`3G_2O=OD,3G_3O=OA,3G_4O=OB`
可见四点形`G_1G_2G_3G_4`与四点形`CDAB`关于中心`O`位似,位似比等于-1/3.
`G`在`G_1G_3`连线上,亦在`G_2G_4`连线上,所以是两者的交点,故是上述位似关系下`X`的像点,
所以`XO=3·OG`
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