网上很流行的pi级数公式推导

plp626

　             1                2                3                                k
pi = 2 + --- * (2 + --- * (2 + --- * (2 + ...  (2 + ---- * (2 + ... ))...)))
                 3               5                 7                              2k+1


即pi/2= sum{k!/(2*k-1)!!,k=0,1,2,...}

大家对这个公式应该很熟悉，网上那个四行代码求圆周率的C代码用的就是这个算法
我对此公式研究了好长时间，还没找到他的背景，或者说这个公式是怎么推导出来的？

谢谢大家关注此贴，谢谢

winxos

1# plp626
这个公式以前我也研究过很长时间，
CFAN论坛里面曾经有人热烈的讨论过。

wiley

用$\arcsin(x)/\sqrt{1-x^2}=x\sum_{i=0}^{\infty}{(2x)^{2i}(i!)^2}/{(2i+1)!}$
然后代入 $x=1/\sqrt{2}$

或者从 $\arctan(x)=\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^i x^{2i+1}}/{2i+1}$,
用欧拉变换加速级数收敛, $\arctan(x)=\sum_{i=0}^{\infty}{2^{2i}(i!)^2}/{(2i+1)!} x^{2i+1}/(1+x^2)^{i+1}$
然后代入 $x=1$

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
(23)-(26)

plp626

谢谢，此贴已结