在△ABC中，∠BAC=60°，∠DBC=30°，D为△ABC內一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°

hujunhua

nyy 发表于 2024-4-11 09:44
我觉得你的办法本质上是解析几何

如果只是使用坐标系描述点、直线和圆的位置，还不能叫做解析几何。
解析几何方法的基本要素：
1、已知两点（坐标），或者一点一斜率，计算过点的直线方程。
2、已知圆心和圆上一点或者半径，计算圆的方程。
3、已知一直线/圆（方程）和另一直线/圆（方程），计算它们的交点坐标。
只有至少使用了以上三种方法之一，才能叫做解析几何。
偶尔使用两点间的距离公式计算长度都不能算解析几何。

如此，你觉得8#的解法算不算解析几何方法，可不可以避开以上三条？

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-11 15:20
如果只是使用坐标系描述点、直线和圆的位置，还不能叫做解析几何。
解析几何方法的基本要素：
1、已知两点 ...

我就纳闷你的那个圆圆心是怎么得到的？你不会是计算了三个主动圆，然后得到被动圆上的三个点吧？

hujunhua

在9#通过评论已经交代了圆心 E 的来路：E 是 A 绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像。

A 绕定点C逆时针旋转60°得到 A'(6,0), 再延长 CA’ 至 E，使得CE=2EA’=12.

这是因为“B是D绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像”，所以B的轨迹就是D的轨迹绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像。
D的轨迹是一个圆（弧），所以B的轨迹就是一个圆（弧），B所在圆的圆心就是D所在圆的圆心A同步变换而来。

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-11 23:55
在9#通过评论已经交代了圆心 E 的来路：E 是 A 绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像。

A 绕定点C逆时针旋 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. {xc,yc}={Cos[60deg],Sin[60deg]}*6;(*B点坐标*)
   
4. {xd,yd}=1/2*RotationMatrix[-60deg].{xb-xc,yb-yc}+{xc,yc} (*通过旋转缩放,得到D点坐标*)
   

复制代码

我只会通过旋转缩放得到D点坐标，然后D点在圆上，因此可以得到E点的轨迹方程，
我的mathematica软件，不知道什么原因计算不不显示RotationMatrix的结果。

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. {xc,yc}={Cos[60deg],Sin[60deg]}*6;(*B点坐标*)
   
4. {xd,yd}=1/2*RotationMatrix[-60deg].{xb-xc,yb-yc}+{xc,yc} (*通过旋转缩放,得到D点坐标*)
   
5. ptd=1/2*{{1/2,Sqrt[3]/2},{-Sqrt[3]/2,1/2}}.{xb-xc,yb-yc}+{xc,yc}//FullSimplify (*通过旋转缩放,得到D点坐标*)
   
6. f=4*(ptd[[1]]^2+ptd[[2]]^2-7)//Expand(*D点在圆上,得到E的轨迹方程*)
   

复制代码

变通一下，得到E点方程
\[\text{xb}^2-18 \text{xb}+\text{yb}^2+6 \sqrt{3} \text{yb}+80=0\]
化简成标准方式
\[(\text{xb}-9)^2+\left(\text{yb}+3 \sqrt{3}\right)^2=\left(2 \sqrt{7}\right)^2\]

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-11 23:55
在9#通过评论已经交代了圆心 E 的来路：E 是 A 绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像。

A 绕定点C逆时针旋 ...

我差不多明白你的意思了，你CA绕着C点旋转60°，并且放大两倍，得到E点，由于C点固定，A点固定，然后E点也固定。

由于D点是动点，我以为这个E点也是动的！

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-11 23:55
在9#通过评论已经交代了圆心 E 的来路：E 是 A 绕定点C逆时针旋转60°后缩放2倍的像。

A 绕定点C逆时针旋 ...

你是不是用软件先得到 b点的轨迹，从上面得到B点
轨迹是一个圆弧，然后努力自圆其说的？

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-10 16:50
如图，我们把A放在原点，B放在水平轴正向滑动。C的极坐标为(6;60°)是个定点。D在红色圆弧上滑动，弧中心为 ...

解析几何的办法来求解问题！

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. {xc,yc}={Cos[60deg],Sin[60deg]}*6;(*C点坐标*)
   
4. mat={{Cos[60deg],-Sin[60deg]},{Sin[60deg],Cos[60deg]}};(*旋转60°的旋转矩阵*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     xd^2+yd^2==7,(*D点在圆上*)
   
7.     {xb-xc,yb-yc}==2*mat.{xd-xc,yd-yc},(*向量CD旋转60°且放大2倍,得到向量CB*)
   
8.     yb==0 (*B点纵坐标等于零*)
   
9. },{xb,yb,xd,yd}]//Simplify
   
10. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{xb}\to 8 & \text{yb}\to 0 & \text{xd}\to 2 & \text{yd}\to \sqrt{3} \\
\text{xb}\to 10 & \text{yb}\to 0 & \text{xd}\to \frac{5}{2} & \text{yd}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{array}\]

nyy

做正三角形，然后利用余弦定理、托勒密定理、两角余弦值相加等于零，列方程组，解方程组，

1. 
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
4. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
6. (*假设BC=BC,CD=DE=BC/2,BE=BC*)
   
7. {AD,CD,DE,BE}={Sqrt[7],BC/2,BC/2,BC};(*4条线段长度赋值*)
   
8. {AB,BC,AC}={AB,BC,6};(*线段长度赋值*)
   
9. ans=Solve[{
   
10.     cs[AD,CD,AC]+cs[AD,DE,AE]==0,(*两角余弦值相加等于零*)
    
11.     cs[AC,AB,BC]==Cos[60Degree],(*△ABC中∠CAB=60°使用余弦定理*)
    
12.     AE*BC+AC*BE==AB*(CD+DE),(*托勒密定理*)
    
13.     AB>=0&&BC>=0&&AE>=0(*限制变量范围*)
    
14. },{AB,BC,AE}]
    
15. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
\text{AB}\to 8 & \text{BC}\to 2 \sqrt{13} & \text{AE}\to 2 \\
\text{AB}\to 10 & \text{BC}\to 2 \sqrt{19} & \text{AE}\to 4 \\
\end{array}\]