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数学研发论坛»论坛 › 【算法研发】 › 编程擂台 › 一百单八将的由来
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楼主: 白新岭

[擂台] 一百单八将的由来

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王守恩
发表于 2024-4-23 09:26:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2024-4-23 09:34 编辑

太难了！来点简单的。
  1. Table[n^2, {n, 2, 99}]
复制代码

{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, ...

在上面这串数中, 随意取若干个, 相加的和不会={1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19, 23}——A078135 ——不能写成平方和的数字。
  1. nn=100;ser=Product[If[SquareFreeQ[n], 1, 1/(1-x^n)], {n, nn}];Join@@Position[CoefficientList[Series[ser, {x, 0, nn}], x], 0]-1
复制代码

可以这样简单想：
24=4+4+16,
25=9+16
26=4+4+9+9,
27=9+9+9,
28=24+4,
29=25+4,
30=26+4,
31=27+4,
32=28+4,
33=29+4,
......

点评

白新岭
只能写成两个数的次幂和，而且要求次幂不小于2  发表于 2024-4-23 17:56
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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nyy
发表于 2024-4-23 09:27:48 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-4-23 09:26
太难了！来点简单的。
Table[n^2, {n, 2, 99}]
{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,  ...

老同志写代码越来越牛逼了，连我都看不懂了
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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白新岭
 楼主| 发表于 2024-4-23 18:05:34 | 显示全部楼层
这也算一个开放的话题，想找小范围内不能被表示的也行。想编一个程序寻找三组以上的自然数也行，能给出最大不能表示数还行，最终给出那样的数可以表示，那样的数不能表示。最终，给出能表示的数的渐近公式表达式（估计比登天还难）。
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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王守恩
发表于 2024-4-24 11:06:30 | 显示全部楼层
太难了！来点简单的。
  1. Table[n^2, {n, 2, 99}]
复制代码

{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, ...

在上面这串数中, 随意取若干个, 相加的和不会={1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19, 23}——A078135 ——不能写成平方和的数字。
  1. nn=100;ser=Product[If[SquareFreeQ[n], 1, 1/(1-x^n)], {n, nn}];Join@@Position[CoefficientList[Series[ser, {x, 0, nn}], x], 0]-1
复制代码

可以这样简单想：
24=4+4+16,
25=9+16
26=4+4+9+9,
27=9+9+9,
28=24+4,
29=25+4,
30=26+4,
31=27+4,
32=28+4,
33=29+4,
......
不能写成平方和的数字,最大=23。
不能写成立方和的数字,最大=154。
不能写成4次方和的数字,最大=1199。
不能写成5次方和的数字,最大=5314。
不能写成6次方和的数字,最大=34928。
......
{1, 23, 154, 1199, 5314, 34928, 256117, 1565279, 6519069, 49304891, 362617861, 1121432591, 13059091501, 34313897584, 202096681135, 1912393561610, 6341902873937, 54356644026512}
  1. a[n_] := Block[{k = 4, f}, While[Prime[k]^n <= f, k++]; f = FrobeniusNumber[Prime[Range@k]^n]]; a /@ Range[18]
复制代码
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王守恩
发表于 2024-4-24 18:09:05 | 显示全部楼层
  1. Join[{1}, Select[Range@5000, Min@FactorInteger[#][[All, 2]] > 1 &]]
复制代码

{1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576,
625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1323, 1331, 1352, 1369, 1372, 1444, 1521, 1568, 1600, 1681, 1728,
1764, 1800, 1849, 1936, 1944, 2000, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2312, 2401, 2500, 2592, 2601, 2700, 2704, 2744, 2809, 2888, 2916, 3025, 3087, 3125, 3136, 3200, ......

在上面这串数中, 随意取2个(可以重复), 相加的和不会={1, 3, 4, 6, 7, 11, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 27, 30, ......无穷多(好像不对)?}——详见8#。

在上面这串数中, 随意取3个(可以重复), 相加的和不会={1, 2, 4, 5, 7, 8, 15, 23, 31, 87, 111, 119,  就这12个}——详见 A135693(好像不是12个)。
  1. With[{m = 10000},  pow = Select[Range[m], # == 1 || Min[FactorInteger[#][[;; , 2]]] > 1 &]; Complement[Range[m], Select[Union[Plus @@@ Tuples[pow, {3}]], # <= m &]]]
复制代码

如何证明只有12个, 我还想不好。就这通项公式也是自己胡揪的。欢迎各位网友批评！谢谢！

点评

白新岭
玩整数数列，还看王守恩。  发表于 2024-4-24 22:23
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王守恩
发表于 2024-4-25 08:36:48 | 显示全部楼层
{1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576,
625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1323, 1331, 1352, 1369, 1372, 1444, 1521, 1568, 1600, 1681, 1728,
1764, 1800, 1849, 1936, 1944, 2000, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2312, 2401, 2500, 2592, 2601, 2700, 2704, 2744, 2809, 2888, 2916, 3025, 3087, 3125, 3136, 3200, ......

上面这串数, 这样写就可以了。
  1. Union@Flatten@Table[a^2*b^3,{b,15},{a,(15/b)^(3/2)}]
复制代码
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王守恩
发表于 2024-4-27 17:59:33 | 显示全部楼层
1+1/4+1/8+1/9+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+1/72+1/81+1/100+1/108+1/121+1/125+......=Zeta[2]*Zeta[3]/Zeta[6]=1.943596436820759205057070362574763437188...
好奇：这个得数是怎样来的？
1+1/4+1/8+1/9+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+         1/81+1/100+          1/121+1/125+......=                                   =1.874464368404944866694351320597373165935...
1+1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+1/48+1/63+         1/80+1/99+            1/120+1/124+......=                                   =2
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northwolves
发表于 2024-4-29 14:28:11 | 显示全部楼层
A001694幂次数，如果素数p整除k，那么p^2也必须整除k
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王守恩
发表于 2024-4-30 12:46:24 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-4-29 14:28
A001694幂次数，如果素数p整除k，那么p^2也必须整除k

{1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576,
625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1323, 1331, 1352, 1369, 1372, 1444, 1521, 1568, 1600, 1681, 1728,
1764, 1800, 1849, 1936, 1944, 2000, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2312, 2401, 2500, 2592, 2601, 2700, 2704, 2744, 2809, 2888, 2916, 3025, 3087, 3125, 3136, 3200, ......

在上面这串数中, 随意取2个(可以重复)相加。

a(1)=0,
a(2)=1,  1+1,
a(3)=0,
a(4)=0,
a(5)=1,  1+4,
a(6)=0,
a(7)=0,
a(8)=1,  4+4,
a(9)=1,  1+8,
a(10)=1, 1+9,
a(11)=0,
a(12)=1, 4+8,
a(13)=1, 4+9,
a(14)=0,
a(15)=0,
a(16)=1, 8+8,
a(17)=2, 1+16=8+9,
a(18)=1, 9+9,
a(19)=0,
......
得到这样一串数。A085252         Jan 30 2023
{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1, 0,
  1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, ...}
  1. Select[Range[120], # == 1 || Min[FactorInteger[#][[;; , 2]]] > 1 &]; BinCounts[Select[Plus @@@ Union[Sort /@ Tuples[pow, {2}]], # <= 120 &]]
复制代码

当a(n)中的n是一个比较大的数时,譬如n=535537,这个公式应如何调整(只显示这个n的得数)？谢谢！
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northwolves
发表于 2024-4-30 19:55:23 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-4-30 12:46
{1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216,  ...
  1. n = 535537; x =
  2. Union@Flatten@Table[a^2*b^3, {b, n^(1/3)}, {a, Sqrt[n/b^3]}]; y =
  3. Select[Table[{k, n - k}, {k, x}], Count[x, #[[2]]] > 0 &];
  4. {n, Length@y, y}
复制代码


{535537,10,{{3025,532512},{4096,531441},{93312,442225},{172225,363312},{194481,341056},{341056,194481},{363312,172225},{442225,93312},{531441,4096},{532512,3025}}}
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