方程(a^2-9643632798)/c=196409，求c负根值？

近似值

a＞0，方程(a^2-9643632798)/c=196409，求c负根值？计算复杂吗？

northwolves

$\frac{409268^2 - 9643632798}{803714}=196409$

northwolves

$\frac{16450^2 - 9643632798}{-47722}=196409$

近似值

northwolves 发表于 2024-4-23 12:18
$\frac{16450^2 - 9643632798}{-47722}=196409$

如何找到c负根值？

近似值

northwolves 发表于 2024-4-23 12:18
$\frac{16450^2 - 9643632798}{-47722}=196409$

数学软件，判断方程有负根存在，人工计算出方程有负根存在，恐怕是做不到了？

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*相当于 a^2=9643632798 Mod(196409)*)
   
3. n=9643632798;m=196409;(*赋值*)
   
4. aa=PowerModList[n,1/2,m] (*求出所有的a*)
   
5. bb={#,(#^2-n)/m}&/@aa (*求出与a对应的c值,再成对{a,c}*)
   
6. Grid[bb,Alignment->Left](*列表显示*)
   

复制代码

输出结果：

所有的a与c
{{16450, -47722}, {98204, 2}, {98205, 3}, {179959, 115787}}

第一列a，第二列对应的c
\[\begin{array}{ll}
16450 & -47722 \\
98204 & 2 \\
98205 & 3 \\
179959 & 115787 \\
\end{array}\]

近似值

人工计算能不能快速判断方程有负根值存在吗？

mathe

这道题目需要计算
\(a^2\equiv 9643632798\pmod {196409}\)
即
\(a^2\equiv 147307\pmod {196409} \equiv -49102 \pmod {196409} \equiv -\frac{196408}4 \pmod {196409} \equiv \frac14 \pmod {196409}\)
由于196409=197*997, 所以
\(a \equiv \pm\frac12 \pmod{197}\)而且\(a\equiv \pm \frac12 \pmod{997}\)
即\(a \equiv 98,99\pmod{197}\)而且\(a\equiv 498,499\pmod {997}\)
使用中国剩余定理计算可以得到\(a\equiv 98204,179959,16450,98205\pod{196409}\)
想要c为负数，那么a必然尽量小，所以要选择a=16450.
上面过程计算可控，但是完全手工计算量不算小，包含对196409因子分解和最后使用中国剩余定理部分